高一数学人教A版必修1课件：3.2.1 几类不同增长的函数模型

3.2.1 几类不同增长的函数模型一、新课引入 有人说，一张普通的纸 对折30次之后高度会超 过10座珠穆朗玛峰，你 相信吗？ 解：设纸厚度为0.01cm， 一张纸对折x次的厚度是 约8844米实例2  根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸 于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有 位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训。他向国王 推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏。国王对这种新奇的游戏 很快就产生了浓厚的兴趣，便问宗师想要得到什么赏赐。宗师 开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格 子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每 一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目 的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足 了。 你知道这需要多少麦粒吗？　　      指数爆炸例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种方案供你选择， 这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻 一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 二、例题分析 解：设第x天所得回报是y元 方案一可以用函数 进行描述；y=40 (x∈N*) 方案二可以用函数 进行描述；y=10x (x∈N*) 方案三可以用函数 进行描述.y=0.4×2x-1 (x∈N*)我们来计算三种方案所得回报的增长情况： 第x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 y/元 y/元增加量 增加量 增加量 1 2 3 40 40 40 0 0 10 20 30 10 10 0.4 0.8 1.6 0.4 0.8 0 4 5 6 7 8 … 30 … … … … … … 40 40 40 40 40 40 0 0 0 0 0 40 50 60 70 80 300 10 10 10 10 10 10 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 214748364.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 107374182.4 y=40 y=10x y=0.4×2x-1 从表格中获取信息， 体会三种函数的增 长差异。 2亿 1亿下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长： 1  2  3 4      6  7  8 9     11 二、例题分析 我们看到，底为2的指数函数模 型比一次函数模型增长速度要 快得多。1  2  3 4      6  7  8 9     11 二、例题分析 下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长： 根据以上的分析，是 否应作这样的选择：投 资5天以下选方案一，投 资5~8天选方案二，投资 8天以上选方案三？ 8结论：投资1 ～ 6天，应选择方案一； 投资7天，可选择方案一或方案二； 投资8～10天，应选择方案二； 投资11天以上(含11天)，应选择方案三。 总 天 数 回报 方案 一 二 三 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8 下面再看累计的回报数： 二、例题分析由例1得到 解决实际问题的步骤： 实际问题 读 懂 问 题 抽 象 概 括 数学问题 演 算 推 理 数学问题的解 还 原 说 明 实际问题的解 解决 二、例题分析例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一 个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时， 按销售利润进行提成奖励，且奖金 y (单位：万元)随销售 利润 x (单位：万元)的增加而增加，但奖金不超过5万元， 同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型： y=0.25x， y=log7x+1， y=1.002x， 其中哪个能符合公司的要求？ 二、例题分析 1)本例涉及了哪几类函数模型？ 2)你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型应满 足哪些条件才能符合公司要求吗？ 思考：我们不妨先作出函数图象： 400 600 800 1000 1200200 xo y=5 y=0.25x 二、例题分析 通过观察函数图象得到 初步结论：按对数模型 进行奖励时符合公司的 要求。 下面通过计算确认以上判断 对数增长模型比较适合于描述 增长速度平缓的变化规律400 600 800 1000 1200200 xo y=5 y=0.25x 首先计算哪个模型的奖金不超过5万 对于模型 y=0.25x，它在 [10,1000]上是 递增 当 x=20 时，y＝5，所以 x > 20 时，y>5 ，因此该模型 不符合要求； 单调性 x=? 哪个范围？ 符合要求否？400 600 800 1000 1200200 xo y=5 y=0.25x 首先计算哪个模型的奖金不超过5万 对于模型 y=1.002x，它在 [10,1000]上 递增单调性 由函数图像并利用计算器，可以知道在区间 (805，806)内有一个点 x0，满足 1.002x0=5 因此当x>x0时， 因此该模型也不符合要求1;y>5，400 600 800 1000 1200200 xo y=5 y=0.25x 首先计算哪个模型的奖金不超过5万 所以它符合要求1。 对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上 递增, 而且当 x=1000 时，y =log71000+1 ≈4.551)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数。 (2) 随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越来越快， 会远远大于y=xn (n>0)的增长速度。 (3) 随着x的增大，y=logax (a>1)的增长速度越来越慢， 会远远小于y=xn (n>0)的增长速度。 总存在一个x0，当x>x0时，就有: logax