高中数学必修2 直线 平面垂直的判定及其性质小结PPT课件

点、 直线 、平面的位置关系 练习题型总结 1.(2009·湖南)平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,既与 AB共面也与CC1共面的棱的条数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 如图所示,用列举法知 符合要求的棱为 BC、CD、C1D1、BB1、AA1. C 2.(2009·湖南)正方体ABCD—A1B1C1D1的棱上到异 面直线AB、CC1的距离相等的点的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 如图所示,棱BC的中点M 到异面直线AB、CC1的距离都等 于棱长的一半,点D、B1到异面直 线AB、CC1的距离都等于棱长,棱 A1D1的中点到异面直线AB、CC1 的距离都等于棱长的 倍. C 3.平面 ∥平面 的一个充分条件是 ( ) A.存在一条直线a, B.存在一条直线a, C.存在两条平行直线a,b, D.存在两条异面直线a,b, 解析 故排 除A. 故排除B. 故 排除C. D 4.已知两条直线m,n,两个平面 给出下面四个命 题: ① ② ③ ④ 其中正确命题的序号是 ( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 解析 ②中,m,n有可能是异面直线;③中,n有可能在 上,都不对,故选C. C 题型一 空间点、线、平面之间的位置关系 【例1】如图所示,平面ABEF⊥平 面ABCD,四边形ABEF与ABCD都 是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°, G,H分别为 FA,FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形； (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么? (3)【面面垂直】设AB=BE,证明:平面ADE⊥平面CDE. (1)证明 由题意知,FG=GA,FH=HD, 所以 所以四边形BCHG是平行四边形. (2)解 C,D,F,E四点共面. 理由如下： G是FA的中点知, 所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC,FH共面. 又点D在直线FH上. 所以C,D,F,E四点共面. (3)证明 连接EC,由AB=BE, 及∠BAG=90° 知ABEG是正方形. 故BG⊥EA.由题设知FA,AD,AB两两垂直,故AD⊥平 面FABE, 因此EA是ED在平面FABE内的射影， 根据三垂线定理,BG⊥ED. 又ED∩EA=E,所以BG⊥平面ADE. 由(1)知CH∥BG,所以CH⊥平面ADE. 由(2)知CH 平面CDE, 得平面ADE⊥平面CDE. 【探究拓展】要证明四边形BCHG是平行四边形,只要 证明 即可;要证明C,D,E,F共面, 可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两 边的延长 线相交即可;要证明面面垂直通常转化成为 证明线面垂直. 题型二 线线、线面位置关系 【例2】(2009·江苏)如图,在直 三棱柱ABC—A1B1C1中E、F分 别是A1B、A1C的中点,点D在 B1C1上,A1D⊥B1C. 求证:(1)【线面平行】EF∥平面ABC; (2)【面面垂直】平面A1FD⊥平面BB1C1C. 证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC. 又EF 平面ABC,BC 平面ABC. 所以EF∥平面ABC. (2)因为三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱， 所以BB1⊥面A1B1C1,BB1⊥A1D, 又A1D⊥B1C,BB1∩B1C=B1, 所以A1D⊥面BB1C1C， 又A1D 面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C. 【探究拓展】证明线面平行,通常用线面平行的判定 定理或由面面平行证明线面平行;证明线面垂直,常 用线面垂直的判定定理;在解决线线平行、线面平行 的问题时,若题目中出现了中点,往往可考虑中位线 来进行证明. 变式训练2 (2009·海南)如图所 示,四棱锥S—ABCD的底面是正方 形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍,P为侧棱SD上的点. (1)【线线垂直】求证:AC⊥SD; (2)【二面角】若SD⊥平面PAC,求二面角 P—AC—D的大小; (3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得 BE∥平面PAC,若存在,求 的值;若不存在,试说 明理由. (1)证明 连结BD,设AC交BD于O， 由题意SO⊥AC. 在正方形ABCD中,AC⊥BD, 所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥SD. (2)解 设正方形边长为a, 则SD= 又OD= 所以∠SDO=60°, 连结OP,由(1)知AC⊥平面SBD， 所以AC⊥OP,且AC⊥OD, 所以∠POD是二面角P—AC—D的平面角. 由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP, 所以∠POD=30°,即二面角P—AC—D的大小为30°. (3)解 在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC, 由(2)可得PD= 故可在SP上取一点N， 使PN=PD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E. 连结BN.在△BDN中,知BN∥PO, 又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC, 得BE∥平面PAC,由于SN:NP=2:1, 故SE:EC=2:1. 题型三 面面位置关系 【例3】(2009·天津)如图,在 五面体ABCDEF中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD, M为EC的中点,AF=AB=BC=FE = AD. (1)【空间夹角】求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)【面面垂直】证明:平面AMD⊥平面CDE; (3)【二面角】求二面角A—CD—E的余弦值. 方法一 (1)解 由题设知,BF∥CE，所以∠CED(或 其补角)为异面直线BF与DE所成的角,设P为AD的中 点,连结EP,PC. 又FA⊥平面ABCD,所以EP⊥ 平面ABCD,而PC、AD都在 平面ABCD内,故EP⊥PC,EP ⊥AD.由AB⊥AD,可得PC⊥ AD.设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= a,故 ∠CED=60° 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°. (2)证明 因为DC=DE且M为CE的中点， 所以DM⊥CE，连结MP,则MP⊥CE. 又MP∩DM=M,故CE⊥平面AMD， 而CE 平面CDE,所以平面AMD⊥平面CDE. (3)解 设Q为CD的中点,连结PQ,EQ.因为CE=DE, 所以EQ⊥CD.因为PC=PD,所以PQ⊥CD,故∠EQP为 二面角A—CD—E的平面角. 由(1)可得,EP⊥PQ,EQ= PQ= 于是在Rt△EPQ中,cos∠EQP= 所以二面角A—CD—E的余弦值为 变式训练3 如图所示,矩形ABCD 和梯形BEFC所在平面互相垂直, BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°, 求证:【线面平行】AE∥平面DCF; 证明 过点E作EG⊥CF交CF于G, 连结DG. 可得四边形BCGE为矩形， 又四边形ABCD为矩形， 所以 从而四边形ADGE为平行四边形， 故AE∥DG. 因为AE 平面DCF,DG 平面DCF, 所以AE∥平面DCF. 专题四：折叠问题 解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的 不变量和变化量, 一般情况下,线段长度是不变量,而 折痕同侧的各种关系不发 生变化,折痕两侧的位置关 系将发生变化，抓住不变量是解决 问题的关键. 例1、已知等腰梯形PBCD中,(如图1),PB=3, DC=1,PD=BC= A是PB边上一点,且AD⊥PB,现将 △PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图2). (1)【面面垂直】证明:平面PAD⊥平面PCD; (2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分 成两部分的体积比VPDCMA:VMACB=2:1; (3)在点M满足(2)的条件下,判断直线PD是否平行于 平面AMC,并说明理由. (1)证明 由题意知:CD⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,所以CD⊥平面PAD, 又CD平面PCD,所以,平面PAD⊥平面PCD. (2)解 由(1)知PA⊥平面ABCD, 所以平面PAB⊥平面ABCD, 在PB上取一点M， 作MN⊥AB于N， 则MN⊥平面ABCD,设MN=h, 则VM—ABC= S△ABC·h 要使VPDCMA:VMACB=2:1, 解得h= 即M为PB的中点. (3)解 连接BD交AC于点O,因为AB∥CD, AB=2,CD=1,由三角形相似得BO=2OD, 所以O不是BD的中点,又M为PB的中点, 所以在平面PBD中,直线OM与PD相交, 所以直线PD与平面AMC不平行. 【考题再现】 (2009·山东)如图,在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别 是棱AD、AA1、AB的中点. 证明:【线面平行】直线EE1∥平面FCC1； (1)证明 在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,取A1B1的中 点F1， 连接A1D,C1F1,CF1,因为AB=4, CD=2,且AB∥CD,所以 所以四边形A1F1CD为平行四边 形，所以CF1∥A1D, 又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点, 所以EE1∥A1D, 所以CF1∥EE1,又因为EE1 平面FCC1， CF1 平面FCC1,所以直线EE1∥平面FCC1 (2009·全国Ⅰ)已知二面角 为60°,动点 P、Q分别在面 内,P到 的距离为 ,Q到 的 距离为 则P、Q两点之间距离的最小值为 ( ) A. B.2 C. D.4 解析 如图,过P作PE⊥ 交 于 E,在平面 内过点E作EF⊥l,则 ∠PFE=60°,由P到 的距离为 知PE= ∴PF=2.同理可求平面 内的点Q到棱l的距离为4.当 将二面角展开,P、Q的连线与l垂直时,P、Q两点之间 的距离最短(此时在二面角内,P、Q应是二面角平面 角边上的两点）. 其最小值应为d2=4+16-2×4×2×cos 60°=12, ∴d= 答案 C 3.已知m,n是两条不同直线, 是三个不同平面, 下列命题中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 由线面的位置关系可知B正确. B (2009·江西)如图,正四面体 ABCD的顶点A,B,C分别在两两 垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上, 则在下列命题中,错误的为( ) A.O—ABC是正三棱锥 B.直线OB∥平面ACD C.直线AD与OB所成的角是45° D.二面角D—OB—A为45° 解析 将原图补为正方体不难得出B错误,故选B. B (2009·海南)如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线 段B1D1上有两个动点E、F,且EF = 则下列结论中错误的是( ) A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三棱锥A—BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值 解析 由正方体的性质可知,AC⊥平面BB1D1D,则AC ⊥BE,所以A正确;易知B正确;因B到直线B1D1的距离是 1,而EF= 点A到平面BB1D1D的距离为常量 所 以三棱锥A—BEF的体积VA—BEF= 所以C正确. 答案 D (2008·全国Ⅰ)已知菱形ABCD中,AB=2,∠A= 120°,沿对角线BD将△ABD折起,使二面角A-BD-C 为120°,则点A到△BCD所在平面的距离等于___. 解析 如图所示,取BD中点E,连接 AE、CE. ∵△ABD、△BCD均为等腰三角形， ∴AE⊥BD,CE⊥BD, ∴BD⊥平面AEC. ∴∠AEC为二面角A—BD—C的平面角, ∴∠AEC=120°. 在平面AEC内过A作CE的垂线AH,垂足为H,则H在CE 的延长线上. ∵BD⊥平面AEC.∴BD⊥AH.又AH⊥CE, ∴AH⊥平面BCD.∵∠BAD=120°,∴∠BAE=60°, ∴cos∠BAE= ∴AE=1. 又∠AEH=60°,∴AH= 即点A到面△BCD的距离为 答案