高中数学必修4 1.4.2正弦函数余弦函数的性质ppt课件

1.4 三角函数的图象与性质 2.任意给定一个实数x，对应的正弦值 （sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？ 问题提出 1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线 分别是什么？ P（x，y） O x y M sinα=MP cosα=OM 4.一个函数总具有许多基本性质，要直 观、全面了解正、余弦函数的基本特性， 我们应从哪个方面人手？ 3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对 应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦 函数；同样y= cosx也是一个函数，称为 余弦函数，这两个函数的定义域是什么 ？ 知识探究（一）：正弦函数的图象 思考1：作函数图象最原始的方法是什么 ？ 思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0 ，2π]内的图象，可取哪些点？ 思考3：如何在直角坐标系中比较精确地 描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π] 内的图象？ x y 1 -1 O 2ππ 思考4：观察函数y=sinx在[0，2π]内的 图象，其形状、位置、凸向等有何变化 规律？ 思考5：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的 图象上，起关键作用的点有哪几个？ x -1 O 2ππ 1 y 思 考 6： 当 x∈[2π， 4π], [-2π， 0],…时，y=sinx的图象如何？ y -1 x O 1 π 2π 3π 4π 5π 6π -2π -3π -4π -5π -6π -π 思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？ y -1 x O 1 π 2π 3π 4π 5π 6π -2π -3π -4π -5π -6π -π 思考8：你能画出函数y=|sinx|， x∈[0，2π]的图象吗？ y xO π 1 2π -1 知识探究（二）：余弦函数的图象 思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？ x y o-1 思考2：一般地，函数y=f(x＋a)(a>0)的 图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的 变换而得到的？ 向左平移a个单位. 思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦 函 数 的 图 象 ， 那 么 先 要 将 余 弦 函 数 y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪 个公式完成这个转化？ 思考4：由诱导公式可知，y=cosx与 是同一个函数，如何作函 数 在[0，2π]内的图象？ x y O 2ππ 1 y=sinx -1 思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图 象如何？其中起关键作用的点有哪几个 ？ x y O 2ππ 1 -1 思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余 弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线 的分布有什么特点？ x y O 1 -1 理论迁移 例1 用“五点法”画出下列函数的 简图： (1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] . x sinx 1+sinx 1 0 0 0 01 -1 1 2 0 1 x -1 O 2ππ 1 y 2 y=1+sinx x cosx -cosx 1 0 10 01 -1 -1 0 0 -1 x -1 O 2π π 1 y y=-cosx 例2 当x∈[0，2π]时，求不等式 的解集. x y O 2ππ 1 -1 小结作业 1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位 重复出现，因此，只要记住它们在[0， 2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲 线和余弦曲线. 2.作与正、余弦函数有关的函数图象， 是解题的基本要求，用“五点法”作图 是常用的方法. 3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研 究函数性质的基础，也是解决有关三角 函数问题的工具，这是一种数形结合的 数学思想. 作业：P34练习：2 P46习题1.4 A组: 1 第一课时 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 问题提出 1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什 么？二者有何相互联系？ y -1 x O 1 π 2π 3π 4π 5π 6π -2π -3π -4π -5π -6π -π y=sinx x y O 1 -1 y=cosx 2.世界上有许多事物都呈现“周而复始 ”的变化规律，如年有四季更替，月有 阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性， 在函数领域里，周期性是函数的一个重 要性质. 知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？ . 思考2：设f(x)=sinx，则 可以怎样表示？其数学意义如何？ 思考3：为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？ 对于函数f(x)，如果存在一个非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期. 思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？ 思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？ 正 、 余 弦 函 数 是 周 期 函 数 ， 2kπ（k∈Z, k≠0）都是它的周期， 最小正周期是2π． 思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？ 知识探究（二）：周期概念的拓展 思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≤0）是 否为周期函数？ 思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ） 是否为周期函数？ 思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π] 是否为周期函数？周期函数的定义域有 什么特点？ 思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正 周期是多少？ 思考5：一般地，函数 的最小正周期是多少? 思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？ 理论迁移 例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （3） ， x∈R ； （4）y=|sinx| x∈R. 例2 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周 期函数？ 例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值. 小结作业 1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立. 2.周期函数的周期与函数的定义域有关， 周期函数不一定存在最小正周期. 3.周期函数的周期有许多个，若T为周期 函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x) 的周期. 4.函数 和 的最小正周期都是 ，这 是正、余弦函数的周期公式，解题时可 以直接应用. 作业：P36练习：1，2，3. 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时 问题提出 1.周期函数是怎样定义的？ 对于函数f(x)，如果存在一个非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x +T)=f(x), 那么函 数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就 叫做这个函数的周期. 2.正、余弦函数的最小正周期是多少 ？函数 和 的最小正周期是多少？ 3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究. 探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性 思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的 对称性，你有什么发现？y -1 x O 1 π 2π 3π 4π 5π 6π -2π -3π -4π -5π -6π -π y=sinx x y O 1 -1 y=cosx 思考2：上述对称性反映出正、余弦函数 分别具有什么性质？如何从理论上加以 验证？ 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些 区间上是增函数？在哪些区间上是减函 数？如何将这些单调区间进行整合？ y -1 x O 1 π 2π 3π 4π 5π 6π -2π -3π -4π -5π -6π -π y=sinx 正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数. 思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上 是增函数？在哪些区间上是减函数？ 余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数. x y O 1 -1 y=cosx 思 考 5： 正 弦 函 数 在 每 一 个 开 区 间 （2kπ， ＋2kπ） (k∈Z)上都是增函 数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？ 探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性 思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？ 思考2：当自变量x分别取何值时，正弦 函数y=sinx取得最大值1和最小值－1？ 正弦函数当且仅当 时取最大 值1, 当且仅当 时取最小值-1 思考3：当自变量x分别取何值时，余弦 函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？ 余弦函数当且仅当 时取最大值 1, 当且仅当 时取最小值-1. 思考4：根据上述结论，正、余弦函数的 值域是什么？函数y=Asinωx（Aω≠0） 的值域是什么？ 思考5：正弦曲线除了关于原点对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？ 正弦曲线关于点（kπ，0）和直线 对称. [-|A|， |A|] 思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？ 余弦曲线关于点 和直线x=kπ 对称. 理论迁移 例1 求下列函数的最大值和最小值，并 写出取最大值、最小值时自变量x的集合 （1） y=cosx＋1，x∈R； （2）y=－3sin2x，x∈R. 例3 求函数 ， x∈[－2π，2π]的单调递增区间. 例2 比较下列各组数的大小: 小结作业 1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期 性、奇偶性、单调性、对称性和最值， 它们都是结合图象得出来的，要求熟练 掌握. 2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数 .一 般 地 ， y=Asinωx是 奇 函 数 ， y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数. 作业：P40-41练习：1，2，3，5，6. 3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理. 1.4.3 正切函数的图象与性质 问题提出 1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？ 2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内 容？这些性质是怎样得到的？ 3.三角函数包括正、余弦函数和正切函 数，我们已经研究了正、余弦函数的图 象和性质， 因此, 进一步研究正切函数 的性质与图象就成为学习的必然. 知识探究（一）：正切函数的性质 思考1：正切函数的定义域是什么？用区 间如何表示？ 思考2：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数是周期函数吗？其最小正周期为 多少？ 正切函数是周期函数，周期是π. 思考3：函数 的周期为多少 ？一般地，函数 的周期是什么？ 思考4：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数具有奇偶性吗？ 正切函数是奇函数 思考5：观察下图中的正切线，当角x 在 内增加时，正切函数值发生 什么变化？由此反映出一个什么性质？ T1 O x y A T2 O 思考6：结合正切函数的周期性，正切 函数的单调性如何？ 正切函数在开区间 都是增函数 思考7：正切函数在整个定义域内是增函 数吗？正切函数会不会在某一区间内是 减函数？ 思考8：当x大于 且无限接近 时，正 切值如何变化？当x小于 且无限接近 时, 正切值又如何变化？由此分析， 正切函数的值域是什么? 正切函数的值域是R. T1 O x y A T2 O 知识探究（一）：正切函数的图象 思考1：类比正弦函数图象的作法，可以 利用正切线作正切函数在区间 的图象，具体应如何操作？ O x y 思考2：上图中,直线 和 与正 切函数的图象的位置关系如何？图象的 凸向有什么特点？ 思考3：结合正切函数的周期性, 如何画 出正切函数在整个定义域内的图象？ y O x 思考4：正切函数在整个定义域内的图象 叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数， 所以正切曲线关于原点对称，此外，正 切曲线是否还关于其它的点和直线对称 ？ 正切曲线关于点 对称. 思考5：根据正切曲线如何理解正切函数 的基本性质？一条平行于x轴的直线与相 邻两支曲线的交点的距离为多少？ 理论迁移 例1 求函数 的定义域、 周期和单调区间. 例2 试比较tan8 和tan( )的 大小. 例3 若 ，求x 的取值范 围. 小结作业 1.正切函数的图象是被互相平行的直线 所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且 关于点 对称, 正切函数的性质应 结合图象去理解和记忆. 2.正切曲线与x轴的交点及渐近线,是确 定图象形状、位置的关键要素,作图时一 般先找出这些点和线,再画正切曲线. 3.研究正切函数问题时,一般先考察 的情形, 再拓展到整个定义域. 作业:P45练习:2，3，4，6. 三角函数的图象与性质 习题课 例1 求下列函数的定义域和值域: (1) ； (2) . 例2 已知函数 的最小正周期为π，当 时，求 f(x)的最大值和最小值. 例3 确定下列函数的奇偶性： （1） ； （2） . 例4 已知函数 在区间 上是减函数，求a的取值范围. 例6 已知函数f(x)=cos2x+sinx+a， 若对任意x∈R都有 成立，求实 数a的取值范围. 例5 把函数 的图象向 右平移a个单位得曲线C，若曲线C关于直 线 对称，求a的最小值. 作业: P46习题1.4A组:2，10. P47习题1.4B组: 1，2.