高中数学必修4 1.1.1任意角PPT课件

1.1.1 任意角的概念 1、角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几 何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理 解，但它是从图形形状来定义角，因此角的 范围是[0º, 360º)， 这种定义称为静态定义，其弊端在于“ 狭隘”. 生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、 向外转体1080º； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多 少度？ 这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且 方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。 2．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O按逆时针方向 旋转到另一位置OB，就形成角 α． 旋转开始时的射线OA叫做 角α的始边，旋转终止的射线 OB叫做角α的终边，射线的端 点O叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做 正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－ 150°，γ=660°， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0º）． 角的记法：角α或可以简记成∠α. ⑶角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周 （360×2=720） 3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转. 角的概念推广以后，它包括任意大小的正 角、负角和零角． 要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样． 用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了； （1）旋转中心：作为角的顶点. （3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360º， 角度的绝对值可大于360º .于是就会出现720º ， － 540º等角度. 3．“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于 x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几 象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的 终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象 限） 例如：30、390、330是第Ⅰ象限角， 300、 60是第Ⅳ象限角， 585、1300是第Ⅲ象限角， 135  、2000是第Ⅱ象限角等 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于 任何象限，或称这个角为轴线角. 4．终边相同的角 ⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同. ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到 360的角与k(k∈Z)个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－ 1) 30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4) 1770=305×360 (k=－5) ⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z) 即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和 ⑷注意以下四点： ① k∈Z； ② 是任意角； ③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应 看成k·360º+(－30º)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360º的整数倍. 例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角. (1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′. 解：⑴∵－120º=－360º+240º， ∴240º的角与－120º的角终边相同， 它是第三象限角． ⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角． ⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角． 例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来： (1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′. 解：(1) S={β| β=k·360º+60º (k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º． (2) S={β| β=k·360º－21º (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º． (3) S={β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’． 例3: 写出终边在Y轴上的角的集合 分析:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合, 然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合 解答:终边在Y轴的非负半轴上的角的集合为边在 Y轴的负半轴上的角的集合为 终边在Y轴的非正半轴上的角的集合为 x y o x y o 例4．用集合的形式表示象限角 第一象限的角表示为 第二象限的角表示为 第三象限的角表示为 第四象限的角表示为 {|k360