新课导入
特征： 直接看出圆心A(a,b)与半径r。
知识回顾
圆的标准方程:
xO
y
A(a,b)
M
r
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
练练手
注意不是a，
而是|a|.
4.1.2 圆的一般方程
教学目标
知识与能力
在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般
方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半
径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条
件。
能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准
方程，能用待定系数法求圆的方程。
培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法
情感态度与价值观
渗透数形结合、化归与转化等数学思
想方法，提高学生的整体素质，激励
学生创新，勇于探索。
通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示
圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析
解决问题的实际能力。
教学重难点
重点
难点
对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
圆的一般方程的代数特征，一般方程
与标准方程间的互化，根据已知条件
确定方程中的系数：D、E、F。
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，得
由于a, b, r均为常数
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
思考
方程 表示什么图形？
对方程 配方，可得
此方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆.
方程 表示什么图形？
对方程 配方，可得
由于不存在点的坐标（x，y）满足这个方程，所
以这个方程不表示任何图形。
探究
方程 在什么条件下表
示圆？
配方可得：
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以 为圆
心，以 为半径的圆;
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程无实数解，所以
不表示任何图形。
所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-
4F>0）可表示圆的方程。
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组实数
解， 表示一个点
圆的一般方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
圆的标准方程:
没有xy这样的二次项。
（2）标准方程易于看出圆心与半径。
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）
解：设圆的方程为
求过三点A（0，0），B（6，0），C（3，1）
的圆的方程。
例四
分析：由于A，B，C三点不在同一条直线上，
因此经过A，B，C三点有唯一的圆。
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
所求圆的方程为：
解这个方程组，得
所求圆的圆心坐标是（3，-4），半径长为
求圆的方程常用“待定系数法”。
用待定系数法求圆的方程的步骤：
①根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。
②根据条件列出关于 a，b，c 或 D，E，F 的方程。
③解方程组，求出 a，b，c 或 D，E，F 的值，代入
方程，就得到要求的方程。
过点M（-6，0）作圆 C：
的割线，交圆C于A，B两点.求线段AB的中点P的
轨迹。
例五
解：圆的方程可化为
∴其圆心为C（3，2）半径为2.
设P（x，y）是轨迹上任意一点
•
•
-6
O 3
y
x
c
A
B
•
。
。P
化简得：
在已知圆内的一段弧（不含端点）。
所以所求轨迹为圆
•
•
-6
O 3
y
x
c
A
B
•
。
。P
求曲线轨迹的问题的关键是找出点P（x，y）
与已知点之间的位置关系，在本题中就是与M，C
之间的坐标关系：
过点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比是
求点M的轨迹方程。
例六
设点M的坐标为（x,y）,根据题意有
因为O(0,0),A(3,0)，所以有
化简，得
由以上过程可知，满足条件
的点满足方程
反过来，坐标满足 的点也满足
即满足条件
因此所求点M的轨迹方程是
即
点M的轨迹是以C（-1，0）为圆心，半径长为2的圆。
注意“轨迹的方程”与“轨迹”的区别：
M的轨迹方程是
M的轨迹是以C（-1，0）为圆心，半径长为2的圆。
轨迹的方程是指点的坐标要满足的方程，而
轨迹是对几何图形的描述。如例六中，
课堂小结
(1)圆的一般方程
(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程 标准方程(圆心,半径)
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用
圆的标准方程较简单。
用配方法求解
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一
般方程用待定系数法求解。
随堂练习
1.如果方程
所表示的曲线关于y=x对称，则必有（ ）
A.D=E B.D=F
C.E=F D.D=E=F
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0
A
2.已知圆 的圆心坐标为(-
2,3),半径为4,则D,E,F分别等于（ ）
A.4,-6,3 B.-4,6,3
C.-4,6,-3 D.4,-6,-3
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D
3.判断下列方程能否表示圆的方程,若能写
出圆心与半径。
（1）x2+y2-2x+4y-4=0
（2）2x2+2y2-12x+4y=0
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0
（4）x2+y2-12x+6y+50=0
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0
是，圆心（1，-2）半径3
是，圆心（3，-1）半径
不是
不是
不是
4.圆 与x轴相切,则这个圆截y
轴所得的弦长是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
A
5.点A（3，5）是圆 的一条弦的
中点,则这条弦所在的直线方程是
6.求下列各圆的半径和圆心坐标。
（1）圆心（3，0），半径3。
（2）圆心（0，-b），半径 |b|。
（3）圆心（a, a），半径 |a|。
4 -6 -3
7.已知圆 的圆心为（-2，
3）半径为4，则D= ，E= ，F=
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
8. 是圆的充要条件是x2＋y2-2ax-y＋a＝0
9.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为
（ ）
A.a=-1或a=2 B.-1
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