人教版高中数学必修2 3.2.3直线的一般式方程ppt课件

3.2.3 直线的一般式方程 1.理解关于x,y的二元一次方程与直线之间的关系. 2.明确直线方程一般式的特征,并能将一般式与其他形式的方 程进行互化. 3.能根据直线的一般式方程进行简单的应用(求斜率、截距等 ). 1.直线的一般式方程 (1)关于x,y的二元一次方程，它都表示一条_____. (2)直线的一般式方程__________，其中A,B不同时为__，若 A=0，则y=____，它表示一条与____平行或重合的直线；若 B=0，则x=____，它表示一条与____平行或重合的直线. 直线 Ax+By+C=0 0 x轴 y轴 2.直线方程的互化 (1)直线的一般式Ax+By+C=0(B≠0),化为斜截式为 ____________;化为截距式为______________. (2)点斜式y-y0=k(x-x0),化为一般式为_______________;斜 截式y=kx+b,化为一般式为_________;两点式= , 化为一般式为_____________________________________;截 距式 =1化为一般式为___________. kx-y-(kx0-y0)=0 kx-y+b=0 (y2-y1)x-(x2-x1)y+(x2-x1)y1-(y2-y1)x1=0 bx+ay-ab=0 1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”，错误的打 “×”). (1)坐标平面内的直线都可以用关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A与B不同时为0)表示.( ) (2)任何一条直线的方程都可以转化为一般式.( ) (3)直线Ax+By+C=0，在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距 为 .( ) (4)若直线Ax+By+C=0与两坐标轴都相交，则A≠0或B≠0.( ) 提示：(1)正确.当A与B不同时为0时，二元一次方程 Ax+By+C=0与平面内的直线是一一对应的. (2)正确.平面内的直线方程都可以写成一般式. (3)错误.当A≠0且B≠0时，直线在x轴上的截距为 ，在y 轴上的截距为 . (4)错误.直线与两坐标轴都相交，则A·B≠0，而不是A≠0 或B≠0. 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线 上). (1)经过点(1,2),斜率为 的直线的一般式方程为_________. (2)在y轴上的截距为2,且过点(-1,4)的直线的方程为_______. (3)方程2x-3y-1=0在x轴上的截距为____________; 在y轴上的截距为_____________. (4)若直线-2x+ay+m=0的斜率为1,则a=___________. 【解析】(1)由直线方程的点斜式，得y-2= (x-1)，整理得 x+3y-7=0. 答案：x+3y-7=0 (2)因为在y轴上的截距为2，所以设直线方程为 把点 (-1,4)代入,得a=1，所以所求直线的方程为 整理得 2x+y-2=0. 答案：2x+y-2=0 (3)令x=0，得y= ，令y=0，得x= ，所以直线在x轴,y轴上 的截距分别为 , . 答案： (4)因为直线-2x+ay+m=0的斜率为1，所以 ，所以a=2. 答案：2 一、直线的一般式方程 探究：观察图象，思考下列问题： (1)坐标平面内的直线，都可以用关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示吗？ 提示：可以，坐标平面内的任何一条直线，都可以用关于x,y 的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示. (2)坐标平面内的直线与关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0是 否为一一对应关系？ 提示：不构成一一对应.坐标平面内的直线都可以看成关于 x,y的二元一次方程，且方程有无数个.但一个关于x,y的二元 一次方程对应着唯一的一条直线. (3)对于直线的一般式方程Ax+By+C=0，当直线垂直于坐标轴 时，A,B满足什么条件？当C=0时，表示怎样的直线？ 提示：当A=0,B≠0时，直线方程化为 表示与y轴垂直 的直线；当A≠0,B=0时，直线方程化为 ，表示与x轴垂 直的直线；当C=0时，方程表示过原点的直线. 【探究提升】对直线一般式方程的理解 (1)表示形式Ax+By+C=0(A,B不同时为0),是关于x,y的二元一 次方程. (2)A,B不同时为0,分三种情况：①A≠0,B≠0;②A≠0,B=0; ③A=0,B≠0. (3)适用范围：坐标平面内的任何一条直线. 二、直线方程的互化 探究1：已知直线l过点(2,0),(0,3)，思考下列问题： (1)能否写出直线l的方程的五种形式？ 提示：能.直线l的斜率 点斜式方程y-0=- (x- 2)；斜截式方程y=- x+3；两点式方程 截距式方 程 一般式方程3x+2y-6=0. (2)直线的一般式方程与其他形式比较，有什么优点？ 提示：坐标平面内的任何一条直线，都可以用一般式表示， 而其他形式都有一定的局限性. 探究2：根据直线的一般式方程Ax+By+C=0，思考下列问题： (1)已知直线的一般式方程Ax+By+C=0，如何求直线的斜率？ 提示：若B≠0，直线方程可化为 故直线的斜率 为 若B=0，则直线的斜率不存在. (2)直线Ax+By+C=0，在x轴,y轴上的截距是多少？ 提示：当A,B,C均不为0时，一般式方程Ax+By+C=0可化为 此时在x轴,y轴上的截距分别为 当 A=0,B,C均不为0时，直线平行于x轴，此时在y轴上的截距为 ；当B=0,A,C均不为0时，直线平行于y轴，此时在x轴上 的截距为 【探究提升】1.五种直线方程的常数的意义与适用范围 名称 方程的形式 常数的意义 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0) (x0,y0)是直线上 的定点,k是斜率 不垂直于x轴 斜截式 y=kx+b k是斜率,b是直线 在y轴上的截距 不垂直于x轴 名称 方程的形式 常数的意义 适用范围 两点式 (x1,y1),(x2,y2)是直 线上两定点 不垂直于 坐标轴 截距式 a,b分别是直线在x 轴,y轴上的截距 不垂直于 坐标轴,且 不过原点 一般式 Ax+By+C=0 A,B,C为系数 任何位置 的直线 2.直线方程的五种形式的两点说明 (1)点斜式、斜截式、两点式、截距式均能直接化成一般式. (2)各种形式互化的实质是方程的同解变形. 类型 一 直线的一般式方程   尝试解答下列题目,理解直线方程的一般式,并能够利用 直线的一般式方程解决有关问题. 1.过点(2,-1)和(3,2)的直线的一般式方程为      . 2.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+1=0表示直线,求实数m的范围 . 【解题指南】1.根据直线方程的两点式,写出直线的两点式方 程,再化为一般式方程;或者设出直线方程的一般式,得出有关 参数的方程组,从而得出直线的一般式方程. 2.根据直线方程的一般式的条件求解. 【解析】1.方法一：由直线方程的两点式，可得直线的方程 为 整理得3x-y-7=0. 方法二：设所求直线的方程为x+my+n=0，把点(2,-1),(3,2) 代入,得 解得 所以所求直线的方 程为 整理得3x-y-7=0. 答案：3x-y-7=0 2.由 解得m=2,因为方程(m2-3m+2)x+(m-2)y- 2m+1=0表示直线,所以(m2-3m+2)与(m-2)不同时为0，即m≠2. 【技法点拨】直线的一般式方程的求法 (1)利用题目条件求出直线的其他形式，再化为一般式. (2)设直线的一般式方程，若A≠0，则方程可设为 只需确定 若B≠0，则方程可设为 只需确定 【变式训练】求满足下列条件的直线的一般式方程. (1)斜率为4，在y轴上的截距为-2. (2)斜率是 ，且经过点A(5，3). 【解析】(1)由直线方程的斜截式，可得所求直线的方程为 y=4x-2，即4x-y-2=0；(2)由直线方程的点斜式，可得所求直 线的方程为y-3= (x-5)，即 x-y+3-5 =0. 类型 二 直线方程的互化 尝试解答下列题目，掌握直线方程的五种形式即各自的适 用范围，并能够根据直线方程之间的联系解决有关问题. 1.在x轴,y轴上的截距分别为2,-3的直线的一般式方程为( ) A.3x+2y-6=0 B.3x-2y-6=0 C.3x+2y+6=0 D.3x-2y+6=0 2.设直线l的方程(m2-2m-3)x+(2m2+m+1)y-2m+6=0，根据下列 条件分别确定m的值： (1)l在x轴上的截距为-3.(2)l的斜率为1. 【解题指南】1.根据截距式写出直线的方程，再化成一般式. 2.(1)令y=0得出l在x轴上的截距.(2)把直线方程的一般式化成 斜截式，根据题中的条件得出关于m的方程，从而求出m的值. 【解析】1.选B.由直线方程的截距式，可知所求直线的方程 为 整理得3x-2y-6=0. 2.(1)令y=0，得 所以 =-3，解得m1=- ,m2=3(舍去)，故当m=- 时，l在x轴上的截距为-3. (2)直线l的方程可化为 所以 解得m1=- ,m2=1，故当m=- 或1时，直 线l的斜率为1. 【互动探究】把题2(1)“l在x轴上的截距为-3”改为“l在y轴 上的截距为-3”，求m的值. 【解析】令x=0，得 所以 解得 故当 时，l在y轴上的截距为-3. 【技法点拨】直线方程互化的两点说明 (1)直线的一般式可以表示任何直线，但特征不明显，解决问 题时，把直线的一般式化成其他形式. (2)求直线的一般式方程，通常根据题中的条件求出对应形式 的方程，再化为一般式. 类型 三 直线一般式方程的应用   尝试解答下列题目,体会用直线的一般式解决直线位置关 系的过程,归纳总结用一般式解决有关问题的方法. 1.已知点A(2,2)与直线l：3x+4y-20=0, (1)过点A且与直线l平行的直线的方程为      . (2)过点A且与直线l垂直的直线的方程为      . 2.已知直线l的方程为(m+1)x+y+2-m=0(m∈R), 若直线l不经过第二象限,求实数m的取值范围. 【解题指南】1.根据两直线平行与垂直时方程系数之间的关 系设出含参数的直线方程,由题意得出参数的值,从而得出所 求直线的方程. 2.利用直线的斜率与截距的范围,得出关于m的不等式组求解. 【解析】1.(1)设所求直线的方程为3x+4y+c=0, 因为点A(2,2)在直线上,所以3×2+4×2+c=0, 所以c=-14, 所以所求直线的方程为3x+4y-14=0. (2)设所求直线的方程为4x-3y+n=0, 因为点A(2,2)在直线上,所以4×2-3×2+n=0, 所以n=-2, 所以所求直线的方程为4x-3y-2=0. 答案：(1)3x+4y-14=0 (2)4x-3y-2=0 2.把直线方程(m+1)x+y+2-m=0化为y=-(m+1)x+m-2， 因为直线l不经过第二象限， 所以 【技法点拨】与已知直线平行和垂直的直线的求法 (1)当直线l1,l2平行时,若l1：Ax+By+C1=0,根据平行的等价条 件,可设直线l2：Ax+By+C2=0,且C1≠C2. (2)当直线l1,l2垂直时,若l1：Ax+By+C1=0,根据垂直的等价条 件,可设直线l2：Bx-Ay+C2=0. 提醒：在解决有关直线平行与垂直的问题时,注意直线的斜率 存在条件的讨论. 【变式训练】已知直线l1：(a+2)x+(1-a)y-3=0与l2：(a-1)x +(3+2a)y+2=0,求下列情况下a的值. (1)直线l1,l2平行.(2)直线l1,l2垂直. 【解析】(1)由l1∥l2得(a+2)·(3+2a)-(a-1)(1-a)=0,整理得 3a2+5a+7=0,无解. (2)由l1⊥l2得(a+2)(a-1)+(1-a)·(3+2a)=0, 解得a=±1. 【拓展延伸】利用一般式直线方程判断直线位置关系的方法 若直线l1：A1x+B1y+C1=0 l2：A2x+B2y+C2=0 则： (1)当A1B2-A2B1≠0时,l1与l2相交. (2)当A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0时,l1∥l2. (3)当A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0时,l1与l2重合. (4)特别地,当A1A2+B1B2=0时,l1⊥l2. 【拓展类型】定点直线系    尝试解答下列问题,体会定点直线系的用法,并能够利用 定点直线系的有关结论解决有关问题. 1.若直线mx-y+(2m+1)=0恒过一定点,则此定点是(  ) A.(-2,1) B.(2,1) C.(1,-2) D.(1,2) 2.求证：直线l：(k+1)x-y-2k-1=0恒过第一象限. 【解题指南】1.利用直线的点斜式方程,求出直线恒过的定点. 2.利用直线恒经过的定点证明结论. 【解析】1.选A.把直线mx-y+(2m+1)=0,化为点斜式得y-1 =m(x+2),所以直线过点(-2,1). 2.方法一：直线l：(k+1)x-y-2k-1=0,化为点斜式得y-1= (k+1)(x-2),可知直线恒过点(2,1).而点(2,1)在第一象限,所 以直线l恒过第一象限. 方法二：把直线转化为斜截式,得y=(k+1)x-(2k+1), ①若k+1>0,则直线过第一象限; ②若k+1=0,则k=-1,此时,直线的方程为y=1,过第一象限; ③若k+10, 所以-m>0,所以m