例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.
2 4
5
2 ab
c d
－4 －2
－5
－2
x
y
O
a=(2,3)b=(-2,3)
c=(-2,-3) d=(2,-3)
判断下列命题的是否真命题，并说明理由.
1、 、 是平面内的一组向量，则平面内任一向
量都可以表示为 ，其中 、 .
2、 、 是平面内的一组基底，若实数 、 使
，则
3、如果 , 是同一平面内的两个不共线的向
量，那么对于这一平面内的任意向量 ，可能有
无数对实数 、 ，使 .
在平面直角坐标
中，向量如何用坐标
来表示？
新课导入
2.3.32.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算
x
y
O
B
A
已知 ，
你能得出 ， ，
的坐标吗？
这就是说，两个向量和（或差）的坐标分
别等于这两个向量相应坐标的和与差.
=(x1+x2)i+(y1+y2
)j
已知， =(x1,y1), =(x2,y2)，
则 =(x1i+y1j)+(x2i+y2j)
即 =(x1+x2,y1+y2)
同理可得 =(x1-x2,y1-
y2)
这就是说，实数与向量的积的坐标等
用这个实数乘以原来向量的相应坐标.
已知 =(x，y)和实数λ，那么
λ =(λx, λy)即
例1:如图，已知 ，求 的坐标.
x
y
O
B
A
解：
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有
向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
例2:已知 ，求
的坐标.
解：
已知三个力 的合
力 ，求 的坐标.
例３：
解：由题设
得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)
即：
∴
∴
例4：如图，已知 的三个顶点A、B、C的
坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
试求顶点D的坐标.
A
B
C
D
x
y
O
解法１：设点D的坐标为（x,y）
A
B
C
D
x
y
O
解法2：由平行四边形法则可得
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
而
所以顶点D的坐标为（2，2）
问题：共线向量如何用坐标来表示呢？
设 其中 是非零向
量,那么可以知道， 共线（平行）的
充要条件是存在一实数λ，使
上面这个结论如果用坐标表示，可写为
（x1，y1）= λ(x2，y2)
即
（2）充要条件不能写成
这就是说，当且仅当
时，向量 共线（平行）。
（1）消去λ时不能两式相除; 注注::
例1：已知 =(4，2)， =(6， y)，且
，求y.∥
解:
例2：若向量 与 共线
且方向相同，求x.
∴(-5)×10- x•(-x)=0
∴x=±
与 方向相同
∴x=
解： 与 共线 ∵
例3、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，
5），判断A、B、C三点的位置关系。
A
B
C
解：在平面直角坐标系中作出A,B,C三点观察
图形，我们猜想A,B,C三点共线。
例4：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分
别是 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P
的坐标。
x
y
O
P1
P2
P
(1)
M
解：（1）
所以，点P的坐标为
x
y
O
P1
P2
P
(2)
（2）如图2，当点P是线段P1P2的一个
三等分点时，有两种情况，即
如果 ，那么
即点P的坐标是
同理，如果 ，那么点P的坐标就是
例4中，当 时，点P的
坐标是什么？
x
y
O
P1
P2
P
(3)
如果 ，那么解：
∴点P的坐标是
即为定比分点坐标公式.
即
1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表示和
向量的线性运算律得出的结论，它符合实数
的运算规律，并使得向量的运算完全代数化.
2.利用向量的坐标运算，可以求点的坐标.
课堂小结
高考链接
1（2008全国）在△ABC中， ，若
点D满足 ,则 ( )
A. B.
C. D.
A
解析：
又
∴
1、已知 则
2、设
若 ,则λ= , μ= .-
3
15
课堂练习
3、已知
A．（7，1） B．（-7，-1）
C．（-7，1） D．（7，-1）
则
的坐标是（ ）Ｂ
4、已知向量
A．（x+4,2-y） B．（x-4,2-y）
C．（x-4,y-2） D．（-4-x,-y+2）
则 B
5、已知
，求点A的坐标．
解： ∵
∴
∵
∴
∴点A的坐标为（8，-10）.
,求C、D的坐标．
解： ∵
即
∴
6、已知点A（-1，2），B（2，8），及
∴
即C点坐标为（0，4）.
∵
即
∴
∴
即D点坐标为（-2， 0）.
∴ ∴
7、已知三个力 的
合力 求 的坐标.
即：
解：由题设得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)
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