八年级数学下册第18章勾股定理18-2勾股定理的逆定理课件（沪科版）

第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第第11课时课时 2.一个三角形满足什么条件是直角三角形？ ①有一个内角是90°，那么这个三角形就是直角三角形; ②如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角 形就是直角三角形. 我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系，来判 断是否为直角三角形呢？ 1. 直角三角形有哪些性质？ (1)有一个角是直角； (2)两锐角互余； (3)勾股定理； (4)含30°角的直角三角形的性质. 问题引入  据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打 上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结 间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便 是直角．你认为结论正确吗？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 相传，大禹治水 时也用这类似的 方法确定直角. 合作探究 活动：探究勾股定理的逆定理的证明及应用 如果三角形的三边长分别为3，4， 5，这些数满足关系：32+42=52，围成 的三角形是直角三角形． 具体做法：把一根绳子打上等距离的13 个结，然后把第1个结和第13个结用木桩 钉在一起，再分别用木桩把第４个结和 第8个结钉牢（拉直绳子），这时构成了 一个三角形，其中有一个角是直角 .    实验操作： 下列各组数中的两数的平方和等于 第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位： cm），它们是直角三角形吗？ ① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5． 动手画一画  （1）这二组数都满足 吗？ （2）它们都是直角三角形吗？ （3）提出你的猜想： 命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. 命题2与上节命题1的题设和结论有何关系? 由上面的几个例子你有什么发现？ 命题1： 直角三角形 a2+b2=c2 命题2： 直角三角形a2+b2=c2 题设 结论 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命 题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 勾股定理 如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为 c，那么满足a2+b2=c2. 勾股定理的逆命题 互逆命题 ？ 证明结论   ∠C是直角    △ABC是直角三角形   A  B  C a b c  已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．  求证：△ABC是直角三角形． 构造两直角边 分别为a,b的 Rt△A′B′C′ △ABC≌ △A′B′C′     已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．  求证：△ABC是直角三角形． 证明：作Rt△A′B′C′， 使∠C′=90 ° ，A′C′=b，B′C′=a， ∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS). ∴∠C= ∠C′=90°， △ABC是直角三角形. 则 A CaB bc A CB a bc a2+b2=c2 直角三角形 特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角 形的判定定理，即已知三角形的三边长， 且满足两条较小边的平方和等于最长边的 平方，即可判断此三角形为直角三角形， 最长边所对角为直角. 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角 形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a=25 ， b=20 ， c=15; 解：（1）因为152+202=625，252=625，所以152+202=252. 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形， 且∠A是直角. (2) a=13 ， b=14 ， c=15; 解：（2）因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152， 不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角 三角形. (4) a:b: c=3:4:5. 解： （4）设a=3k,b=4k,c=5k,因为 （3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，∠C是直角. 解： (3) a=1 ， b=2 ， c= ; 奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25； 9，40，41等等 偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17； 10，24，26等等 解题小结： 勾股数：像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边 长的正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 勾股数的拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数， 这组数同样是勾股数. （1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用 ？ 内容是：如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 作用：把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关 系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直 角三角形的判定依据. 课堂小结   经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理， 再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实 际问题的过程. （3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历 了哪些过程？ （2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你 能说出它们之间的关系吗？ 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆 命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的 逆命题. 第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第第22课时课时 1.勾股定理的逆定理的内容： 如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形. a2+b2=c2 3.在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25，则_____ =90°. ∠B 2.三角形三边长分别为8，15，17，那么最短边上 的高为( )B 复习引入 引例 判断以线段a,b,c为边组成的三角形是否是直 角三角形，其中a= ,b=1,c= . 小明的解法是： 请问小明的解法对吗？若对，请说明其依据是什 么？若不对，错在哪里？写出正确的解答过程. 合作探究 活动：探究勾股定理的逆定理的应用 ∴a2 +b2 ≠c2， 答：不对，错在没有分清最长边. 正确解答如下： 判断a,b,c能否构成直角三角形，必须判断两较小 边的平方和是否等于最长边的平方.不能简单地看某两边 的平方和是否等于第三边的平方，否则容易作出误判. 勾股定理的逆定理使用“误区” 勾股定理及其逆定理使用方法 解题时，注意勾股定理及其逆定理运用的区别.勾股 定理是在直角三角形中运用的，而勾股定理的逆定理判断 一个三角形是否是直角三角形. 知识要点 例1 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB ＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积。 A D B C 3 4 13 12 连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾 股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的 逆定理判断△ACD是直角三角形. 提示 A D B C 3 4 13 12 连接AC.解: 例2 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海， 晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西 方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在 PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里， BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则 可疑船只最早何时进入我领海？ 东 北 P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定理 可得出△ABC是直角三角形，然后利用 直角三角形的面积公式可求出PD的值， 然后利用勾股定理便可求出CD的长. 东 北 P A B C Q D 解：∵AC=10，AB=6，BC=8， ∴AC2=AB2+BC2， 即△ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D，根据三角形的 面积公式有BC·AB=AC·BD. 即6×8=10BD，解得BD= . 在Rt△BCD中， 又∵该船只的速度为12.8海里/时， ∴需要6.4÷12.8=0.5（时）=30（分）进入我领海， 即最早晚上10时58分进入我领海. 解题反思： 找出CD是该船只进入我领海的最短路线，也 就是解题的关键所在.在解决航海的问题上，南北方向 和东西方向是互相垂直的，可知PQ⊥AC，又由△ABC 三边的数量关系可判定△ABC是直角三角形，于是本题 便构造直角三角形，应用勾股定理及其逆定理. 运用勾股定理的逆定理解决问题有哪些收获？ （1）要正确使用勾股定理的逆定理，只有弄清楚满足 的关系式a2+b2=c2,其中a,b是两较短边，c是最长边，最 长边所对的角才是直角. （2）在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股 定理是“黄金搭挡”，经常配套使用，即有时先用勾股 定理，再用其逆定理；有时先用其逆定理再用勾股定理， 要视具体情况而定. 课堂小结 （3）勾股定理及其逆定理在解决航海问题时，理解方 位角的含义是前提，画出符合题意的图形，标明已知条 件，转化为解决直角三角形问题所需的条件.