八年级数学下册第19章四边形19-1多边形内角和课件（沪科版）

第19章 四边形 19.1 多边形内角和 在平面内，由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相 连组成的封闭图形叫做三角形. 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相 连组成的封闭图形叫做多边形. 在平面内，由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次相 连组成的封闭图形叫做五边形. 在平面内，由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相 连组成的封闭图形叫做四边形. 自主学习 顶点 内角 边 对角线 (连接不相邻两个顶点的线段) 多边形的相关元素 外角 表示：五边形ABCDE A C B D E 图1是凸多边形， 图2不是凸多边形，今后如果不作说明，我 们讲的多边形都是凸多边形. 图 2 如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直 线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形. 图 1 A C B D A CB D 相关概念 在多边形的顶点处一边与另一边的延长线所组成的 角叫做这个多边形的外角. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫 做这个多边形的外角和. 如何求出任意五边形的内角和？你能想出几种办 法？ 合作探究 活动1：探究多边形的内角和 多边形的边数 4 5 6 … n 分成三角形的个数 … 多边形的内角和 … 2 3 4 n-2 360° 540° 720° (n-2)×180° 从多边形的一个顶点出发，引出所有的对角线，从而把 多边形分割为多个三角形. 定理： n边形的内角和等于(n－2)·180（n为不小于3的整数）. 说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、 形状无关. 已知一个多边形，它的内角和等于900°,求这个多 边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. 因为它的内角和等于 (n-2)•180°， 所以 (n-2)•180°= 900 °. 解得 n=7. 所以这个多边形的边数为7. 有一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角，有几种 情况？剩下的残余桌面的内角和为多少？ 思考题： 三角形的外角和是多少度？你是怎样探究出来的？ A B C D E F 1.先把三角形的三个外角和三个内角这六个角 的和求出来，刚好是三个平角. 2.再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下 的就是三角形的外角和了！ 3×180°-(3-2) ×180°=360° 活动2：探究多边形的外角和 那 么 你 能 研 究 出 四 边 形 的 外 角 和 吗 ？ 整体思路：1.先求4个 外角+4个内角的和； 2.再减去4个内角的和. 容易看出，4个外角+4个内角=4个平角，而4个 内角的和是（4-2） × 180 ° ，那么四边形的 外角和就是4× 180°-（4-2） × 180°= 360°. 五边形的外角和是多少度？ 六边形的外角和是多少度？ n边形的外角和是多少度？ … … … … … … … 5×180°-(5-2) ×180°=360°. 6×180°-(6-2) ×180°=360°. n×180°-(n-2) ×180°= 360°. n边形的外角和等于360° 理论证明： 所以n个外角与n个内角的和是n×180°， 所以n边形外角和是 n×180 ° -(n-2) ×180 ° =360 °. 而n边形的内角和是（n-2）×180 °. 因为n边形的每个外角与它相邻的内角互补， (n≥3）. 知识要点 变式：你能反过来由多边形外角和公式来推导多边形的 内角和公式吗？ n•180 ° - 360 ° =n•180 ° -2×180 ° =（n-2）•180 °. 分析： 例 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是 几边形？ 解： 设这个多边形的边数为n，则它的内角和等于 (n -2)•180°。 因为外角和等于360 ° ，所以 (n-2)•180°= 3×360 °. n = 8， 所以这个多边形的边数为8. 三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这样的 三角形就叫做正三角形. 如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多 边形就叫做正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）、正 五边形等等 . 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 (或正四边形) 活动3：探究正多边形 下列图形是不是正多边形？ （1）各条边都相等的多边形是正多边形； （2）各个角都相等的多边形是正多边形. 由上面的结论判定下列说法正确吗？ 强调： 2.各个角都相等。 1.各个边都相等；缺一不可： 菱形 长方形 课堂小结 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾 顺次相连组成的封闭图形叫做多边形. n边形的内角和等于(n－2)·180（n为不小于3的整数）. 说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、 形状无关. n边形的外角和等于360° (n≥3）.