8.3 第1课时 利用二元一次方程组解决实际问题

第八章 二元一次方程组 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 8.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 利用二元一次方程组 解决实际问题学习目标 1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程 组解决简单的实际问题.（重点） 2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题. （重点、难点）导入新课 视频引入 思考：视频中的问题你知道怎么解吗 ？ 问题引入 养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料 675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天 约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲 料18到20 kg，每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李 大叔估计的准确吗？ 讲授新课 列方程组解决简单实际问题一合作与交流 问题1 题中有哪些未知量，你如何设未知数？ 未知量:每头大牛1天需用的饲料; 每头小牛1天需用的饲料. 问题2 题中有哪些等量关系？ (1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg; (2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg. 设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用 饲料为xkg和ykg，解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg， 根据等量关系，列方程组： 答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲 养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小 牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入. + = 675, + = 940. 30x 15y 42 x 20y 解方程组：x= , y= . 20 5剧情发展：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘 请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已 知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种 饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔 应聘请甲乙两种饲养员各多少人？ 解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员 y人，则： + = 42, + = 20. 8x 5y 4x 2y 解得： x =4 y = 2 答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲 养员2人.典例精析 例1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分， 平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输 过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？ 分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数， 等量关系有：胜的场数+平的场数=11； 胜场得分+平场得分=27. 胜场 平场 合计 场数 得分 x 3x y y 11 27解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得 8 y 3x y 3 答：该市第二中学足球队胜8场，平3场. x 通过上述两题，总结 用二元一次方程组解 决实际问题的步骤解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的_________； (2)设元：用___________表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用__________法或___________解 出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义， 然后作答. 总结归纳 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元法练一练1：某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0 ～3km，超过3km的部分按每千米另收费. 甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.” 乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.” 请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后， 每千米的车费是多少元？ 分析 本问题涉及的等量关系有： 总车费=0～3km的车费(起步价)+超过3km的车费.解 设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元. 根据等量关系,得 解这个方程组，得 答：这种出租车的起步价是5元， 超过3km后每千米收费1.5元. 起步价 超过3km 后的费用 合计费用 甲 乙 x x （11-3）y （23-3）y 17 35练一练2：今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直 金八两．牛、羊各直金几何？ 牛五、羊二 牛二、羊五 5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共 价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？ 　 解:设每头牛值“金”x两,每只羊值“金”y两, 由题意,得 5x+2y=10, 2x+5y=8. 答:羊值“金” 两,牛值“金” 两.据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量 的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形 土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作 物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产 量的比是3:4？ 请提取数学信息 列方程组解决几何问题二转换成数学语言： A D C B 已知：长方形ABCD， AB=CD=200m， AD=BC=100m， 长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方 形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比 是1:2. 目标：甲、乙两种作 物的总产量的比是3:4这里研究的实际上是 什么 问题. 分 析 把一个长方形分成两个小 长方形有哪些分割方式？ 01 竖着画，把长分成两段，则宽不变 02 横着画，把宽分成两段，则长不变 长方形的面积分割 我们可以画出示意图来帮助分析 试着画一画01 竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D CF BE 1.大长方形的长=200m 2.甲、乙两种作物总产量比=3:4 等量关系式有几个？ 分 析01 竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D CF BE 1.大长方形的长=200m 2.甲、乙两种作物总产量比=3:4 分 析 设AE＝xm，BE＝ym. 先求出两种作物的面积 SAEFD=100x SEFCB=100y 再写出两种作物的总产量 甲：100x×1 乙：100y×2 则列方程为 100x:200y=3:4 总产量= ？ 1 : 2 x y 200m 100 如何设未知数呢？ 则列方程为 x+y=200 单位面积产量×面积01 竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D CF BE 根据题意列方程组为 100x:200y=3:4x y 200m 100m 解 答 x+y=200 解得 x=120 y=80 你觉得该如何答题 比较完整呢？ 甲种作物 乙种作物 解：过点E作EF⊥AB， 交CD于点F. 设AE＝xm，BE＝ym. 答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的 两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 02 横着画，把宽分成两段，则长不变 A D C B E x y F x+y=100 乙种作物 甲种作物 解：过点E作EF⊥AD，交 BC于点F. 设DE＝xm，AE＝ym. 200x:400y=3:4 200y 200x x=60 y=40解得 解 答 根据题意列方程组为 200m 100m 答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的 两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 练一练： 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形， 每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（单位cm） 6 0 x+y=60 x=3y 解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y, 由题意,得 解此方程组得：x =45, y=15. 答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.列方程组解决行程问题三 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走 80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需 10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路， 一段为下坡路. 平路：60 m/min 下坡路： 80 m/min 上坡路： 40 m/min 走平路的时间+走下坡路的时间=________， 走上坡路的时间+走平路的时间= _______． 路程=平均速度×时间 10 15方法一（直接设元法） 平路 时间 坡路 时间 总 时 间 上学 放学 解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m. 根据题意，可列方程组： 解方程组，得 所以，小明家到学校的距离为700m.方法二（间接设元法） 平路 距离 坡路 距离 上学 放学 解：设小华下坡路所花时间为xmin, 上坡路所花时间为ymin. 根据题意，可列方程组： 解方程组，得 所以，小明家到学校的距离为700m. 故 平路距离：60×（10-5）=300（m） 坡路距离：80×5=400（m） 例2 甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人 0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？ 典例精析 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示 题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.（1） 同时出发，同向而行 甲出发点 乙出发点 4km 甲追上乙 乙2h行程 甲2h行程 甲2h行程=4km+乙2h行程 （2） 同时出发，相向而行 甲出发点 乙出发点 4km 相遇地 甲0.5h 行程 乙0.5h 行程 甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h. 根据题意，得 解方程组，得 答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.练一练：我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南 京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到 达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速 度以及长江水的平均流速. 解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江 水的平均流速为y千米/时. 答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的 平均流速为2.5千米/时.1.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨， 则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨. 问有多少节车皮？多少吨货物？ 解：设有x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组 得 y=15.5x+4， y=16.5x-8 （以下部分由同学们完成） 当堂练习2.2.某班有某班有4040名同学看演出，购买甲、乙两种票名同学看演出，购买甲、乙两种票 共用去共用去370370元，其中甲种票每张元，其中甲种票每张1010元，乙种票元，乙种票 每张每张88元元..请问甲种和乙种票各多少张？请问甲种和乙种票各多少张？ 解得 答：甲种票25张，乙种票15张.3.课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这 样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有 九十四足，问鸡兔各多少只？ 解得 答：鸡有23只，兔有12只.4.有甲、乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47 ，甲数的5倍比乙数的6倍小1，这两个数分别是多少 ？ 解得 答：甲数为10，乙数为 .5.甲、乙两店共有练习本200本，某月甲店售出19本， 乙店售出97本后，甲、乙两店所剩的练习本数目相 等，则甲店和乙店原有练习本各多少？ 解得 答：甲店原有练习本61本，乙店原有练习本139本.6.某船顺流航行36km用3h，逆流航行24km用3 h， 则水流速度和船在静水中的速度各是多少？ 解得 答：船在静水中的速度为10km/h，水流速度为2km/h.隔壁听到人分银， 不知人数不知银。 每人五两多六两， 每人六两少五两。 多少人数多少银？ 解：设有x个人，y两银， 由题意得： 5x+6=y 6x-5=y 7.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到 外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音， 下面有这一古诗为证： 解得： x=11 y=61 答：有11个人，61两银.8. 甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车， 如果甲先走6千米乙再动身，则乙走 小时后恰好与 甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用 小时 可追上甲，求两人的速度． 解：设甲的速度为x千米/时， 乙的速度为y千米/时,则 答：甲的速度为4千米/时，乙的速度为12千米/时.课堂小结 二 元 一 次 方 程 组 的 应 用 应 用 步 骤 简单实际问题 行程问题 路程=平均速度×时间 审题：弄清题意和题目中的 设元：用_____表示题目中的未知数 列方程组:根据__个等量关系列出方程组 解方程组 检验作答 数量关系 字母 2 代入法；加减法. 几何问题更多精彩视频内容，敬请关注微信公众号：我是好教师 微信扫描二维码下载更多资源