高中数学必修22.3.4平面与平面垂直的性质课件ppt

2．3.4 平面与平面垂直的性质 1．两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内 的 直线垂直于另一个平面．用数学符号表示为 . 2．重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经 过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，必在 ．用数学符号表示为 . (2)如果两个平面互相垂直，第一个平面内一点在第 二个平面内的射影一定落在 ． 垂直于交线 α⊥β，α∩β＝b，a⊂β，a⊥b⇒a⊥α 第一个平面内 A∈β，α⊥β，A∈a，a⊥α⇒a⊂β 两个平面的交线上 3．(1)△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为 O， ①若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的 心 *②若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的 心或 心 ③若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的 心 (2)∠ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O ， ①若 ∠PCA＝ ∠PCB，则 O在 . ②若P到∠BCA两边距离相等， 则O在 . 外 内 旁 垂 ∠BCA的平分线上 ∠BCA的平分线上 4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个 互不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是 (  ) ①若m⊥α，m⊥β，则α∥β  ②若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β ③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β ④若m、n是异 面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β A．①②    B．①③ C．③④ D．①④ [答案] D [解析] 命题①为真命题，垂直于同一条直线的两 个不重合平面必平行． 命题②为假命题，例如正方体交于同一点的相邻三 个面． 命题③为假命题，例如(如图)． 正四棱锥中，AB⊂面SAB，CD⊂面SCD，AB∥CD. 但面SAB与面SCD不平行，而是相交． 命题④为真命题，因为过直线n作平面γ和平面α相交 ，设交线为a，则a∥n. ∵m、n为异面直线，m⊂α，n⊂β，∴m、a为相交 直线， ∵m∥β，a∥β，∴α∥β.故选D. 本节学习重点和难点：面面垂直性质定理的应用． 两个平面互相垂直并不能保证一个平面内的直线必 垂直另一平面，只有在一个平面内，垂直于它们交线的直 线才垂直于另一个平面．因此，当两平面垂直时，常添加 的辅助线是在一个平面内作两面交线的垂线，或过一个平 面内的一点作另一个平面的垂线．此定理可简化为“面面垂 直，则线面垂直”． [例1] 如图平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线 段AB＝4cm，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l， BD⊥l，AC＝3cm，BD＝12cm，求线段CD的长． [分 析 ]  为 求 CD的 长 ， 由 BD⊥l， α⊥β， 易 知 △BCD为Rt△，BD长已知，只要知道BC长即可．由AC⊥l ，知△ABC为Rt△可解． [解析] ∵AC⊥l，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5. ∵BD⊥l， l＝ α∩β， α⊥β， BD⊂β， ∴BD⊥α， 又 BC⊂α ∴BD⊥BC，在Rt△BDC中，DC＝ ＝13，∴CD长为13cm. [点评] 求线段CD的长可以通过Rt△BDC，也可以 通过Rt△ACD.一般求线段的长度问题，要归到三角形中求 解． 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC 的中点． (1)证明：CD⊥AE； (2)证明：PD⊥平面ABE. [解析] (1)证明：在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)证明：由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC ＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. PA⊥底面ABCD，∴AB⊥PA， 又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. [例2] 已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l 求证：l⊥γ [解析] 证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交 线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β，∵l ＝ α∩β， ∴l⊥PA， l⊥PB， ∵PA与 PB相 交 ， 又 PA⊂γ， PB⊂γ，∴l⊥γ. 证法2：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作 直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ， ∴m∥n，又n⊂β，∴m∥β，又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l， ∴l⊥γ. 总结评述：证法一、证法二都是利用“两平面 垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于 另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线 的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键． 证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个 平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关 键． 通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线 的方法． 又在原题条件下，添加条件b∥α，b∥β，求证b⊥γ. 在l上任取一点B，过b和B的平面交α于过B的直线a′，交β于 过B的直线a″， ∵b∥α，∴a′∥b，同理b∥a″， ∵a′和a″同时过B且平行于b. ∴a′和a″重合于直线l，由l⊥γ可得b⊥γ. 如下图，已知V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平 面ABC，平面VAB⊥平面VAC，求证：△ABC是直角三角 形． [分析] 灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化 ． [证明] 过B作BD⊥VA于D， ∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC， ∴BD⊥AC，又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC， ∴AC⊥平面VAB，∴AC⊥BA，即△ABC是直角三 角形. [例3] 如图，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝ AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角 E－BD－C的大小． ⇒∠EDC为二面角E－BD－C的平面角． 设SA＝a，则SB＝BC＝ a， ∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC，∴BC⊥SB. ∴SC＝2a，∠SCD＝30°，∴∠EDC＝60°， 即二面角E－BD－C的大小是60°. [例4] 直线l∥平面α，在l上任取一点A作AB⊥α， 垂足为B，则AB的长为直线l与平面α的距离．长方体ABCD －A1B1C1D1中，棱AA1＝5，AB＝12，则直线B1C1与平面 A1BCD1的距离等于__________． [解析] 如图，作B1E⊥A1B，∵A1D1⊥平面ABB1A1 ，B1E⊂平面ABB1A1，∴A1D1⊥B1E， 又A1B∩A1D1＝A1，∴B1E⊥平面A1BCD1，∴B1E为 直线B1C1到平面A1BCD1的距离，由BB1＝5，A1B1＝12， ∠A1B1B＝90°知B1E＝ *如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平 面ABCD，Q为线段AP的中点，若AB＝AP＝2，BC＝4，则 点P到平面BQD的距离为________． [解析] ∵Q为线段PA的中点， ∴P点到平面QBD的距离等于A点到平面QBD的距离 ．在平面AC内过A作BD的垂线AE交BD于E，连QE， ∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA， ∴BD⊥平面QAE. 在平面QAE内过A作AH⊥QE交QE于H.∵BD⊥AH， ∴AH⊥平面BQD. ∴A点到面BQD的距离为AH. [例5]  已知：平面α⊥平面β，α∩β＝AB，a⊂α， b⊂β，a⊥b.求证：a⊥β或b⊥α. [证明] 若a⊥AB则∵α⊥β，α∩β＝AB，∴a⊥β 若a不垂直于AB，则在直线a上取一点C作CD⊥AB 于点D，所以CD⊥β，又b⊂β，∴CD⊥b， 又b⊥a，CD∩a＝c，∴b⊥α (1)若将上题题干改为：α⊥β，α∩β＝AB，a⊂α， b⊂β，a、b都不与AB垂直，求证：a与b不垂直． (2)已知平面α⊥平面β，直线a∥α，α∩β＝b，a⊥b ，试判断直线a与平面β的位置关系． [解析] (1)证明：(反证法)假设a⊥b， ∵a与AB不垂直，过a上一点P作PH⊥AB于H， ∵α⊥β，∴PH⊥β，∵b⊂β，∴PH⊥b， 又a⊥b，a∩PH＝P，∴b⊥α.∵AB⊂α， ∴b⊥AB，这与条件b与AB不垂直矛盾，故a与b不 垂直． (2)解：过a作平面γ∩α＝a′，∵a∥α，∴a∥a′， 又a⊥b，∴a′⊥b，又α⊥β，∴a′⊥β，∴a⊥β. [例6] 已知Rt△ABC中，AB＝AC＝，AD是斜边BC 上的高，以AD为折痕，将△ABD折起，使∠BDC为直角． (1)求证：平面ABD⊥平面BDC. (2)求证：∠BAC＝60°. (3)求点A到平面BDC的距离． (4)求点D到平面ABC的距离． [分析] 抓住等腰Rt△ABC中AD⊥BC，及折叠前后 位于折线同侧的点、线位置关系、数量关系都不变．则有 AD⊥BD，AD⊥CD，故(1)、(2)、(3)问容易求解． 对于第(4)问，因为△BDC也是等腰直角三角形．取 BC中点E，易得BC⊥平面ADE， ∴平面ABC⊥平面ADE，交线为AE，于是D点到平 面ABC的距离就是D点到直线AE的距离，又△ADE为Rt△ ，故距离易求． [解析] (1)∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D， ∴AD⊥平面BDC 又AD⊂平面ABD. ∴平面ABD⊥平面BDC. (4)取 BC的 中 点 E， ∵AB＝ AC， BD＝ DC， ∴DE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ADE， ∴平面ABC⊥平面ADE. 过D作DM⊥AE于M，则DM⊥平面ABC，∴DM的长 即为D到平面ABC的距离． [点评] 1°第(4)问也可以用等积转换法解决．VA－ BDC＝VD－ABC. 2°要证直线与平面垂直主要从以下角度考虑． ①l为α内任一直线，a⊥l⇒a⊥α ②b⊂α，c⊂α，b∩c＝A，a⊥b，a⊥c⇒a⊥α ③a∥b，b⊥α⇒a⊥α ④α⊥β，α∩β＝b，a⊂β，a⊥b⇒a⊥α 3°要证平面与平面垂直主要考虑． ①平面α与β所成的二面角为直二面角⇒α⊥β ②a⊥β，a⊂α⇒α⊥β [例7] 正三棱锥A－BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a ，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于 点E，F，G，H. (1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由； (2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥ 平面EFGH？请给出说明． [解析] (1) 同理EF∥AD， ∴HG∥EF，同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵A－BCD是正三棱锥， ∴A在底面上的正投影O是△BCD的中心， ∴DO⊥BC，又AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD， ∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形． (2)作CP⊥AD于P点，连结BP， ∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP， ∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP， 又HG⊂面EFGH，∴面BCP⊥面EFGH， 在Rt△APC中，∠CAP＝30°，AC＝a，∴AP＝ 如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥ 平面ABCD，若BC边上的点Q满足PQ⊥QD，当存在两个这 样的点时，a的取值范围 是________． [答案] 0.72 [解析] 解法1：∵PQ⊥QD，又PA⊥平面ABCD， ∴AQ⊥QD. 设BQ＝x(0