空间图形
三视图 直观图
简单几何
体的表面
积和体积
公理
点、线、面的位置关系
平行与垂直
判定定理、性质定理
（借助长方体）
三视图；在正投影中，一种是光线从几何体的前
面向后面正投 影，这种投影图叫做几何体的正
（主）视图；
从几何体左面向右面的正投影图称为侧（左）视
图；
从几何体上面向下面的正投影图称为俯视图。
直观图；斜二测画法步骤是：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y 轴，两轴相交
于点O。画直观图时，把它们画成对应的x’轴和y’轴，两
轴交于点O’，且使∠x’O’y’=45°（或 135 °），它们确
定的平面表示水平面。
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分
别画成平行于x’轴或y’轴的线段。
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原
长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
一、平面的特点：（1）“平”；（2）“
无限延展”；（3）“无厚薄”；（4）“无
大小”；（5）“无宽窄”
二：平面的表示
平面记作：
平面 ABCD
平面AC或平面BD
A B
D C
三、空间中几种位置关系
1、点与直线的位置关系
（1）点A在直线l上：
（2）点A在直线l外：
按平面基本性质分
同在一个平面内 相交直线
平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
有一个公共点:
按公共点个数分
相交直线
无 公 共 点
平行直线
异面直线
3、空间中直线与直线之间的位置关系
记作 ．点B在平面 外：
记作 ．点A在平面 内：
2、点与平面的位置关系
a
a
a
A
4、直线与平面的位置关系
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.
5、两个平面的位置关系
两平面平行
没有公共点 有一条公共直线
两平面相交
α∥β α∩β=a
位置关系
公共点
符号表示
图形表示
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线在此平面内。作用:判定直线是否在平面内．
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平
面．作用：确定平面的主要依据．
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有
一个平面。
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
们有且只有一条过该点的公共直线．
作用:(1)判断两个平面相交的依据;
(2)判断点在直线上。
两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.
定义：不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
1.异面直线: 证明异面直线时常用反证法。
2.判断直线与平面平行的方法：
（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；
（2）判定定理：（线线平行 线面平行）；
a
3. 直线与平面平行的性质定理：
a
bα
β
线面平行 线线平行
4. 判断平面与平面平行的方法：
（1）定义法：平面与平面没有公共点则面面平行；
（2）判定定理：线线平行线面平行面面平行
P
关键是找平行线
法一:三角形的中位线定理；法二:平行四边形的平行关系。
⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线
都与另一个平面平行.
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它
们的交线平行.
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么
它也和另一个平面相交.
⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等。
5. 平面与平面平行的性质：
a a
b
6. 直线与平面垂直的方法：
（1）定义法：直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直。
（2）判定定理：线线垂直线面垂直
7. 直线与平面垂直的性质：
a b
α
β
8. 判断平面与平面垂直的方法：
（1）定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面
角是直二面角。
（2）判定定理：线线垂直线面垂直面面垂直
β
α
a
A
8. 平面与平面垂直的性质定理： 面面垂直线面垂直
β
α A
l
a
1.异面直线所成角：范围
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线；
二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角；
三求：在一恰当的三角形中求出角。
2. 直线与平面所成角：范围 [0[0，，
9090]]
Ａ
Ｐ
(0(0，，
9090]]
Ｏ
注：已知角，要求角，
关键找射影。
3. 二面角：范围 [0[0，，
180180]]
O
B
A
∠AOB即为二面
角α-l-β的平面角。l
α
β
八、 公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．等角定理：
等角定理
的推论：
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，
那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
直线和圆
直
线
的
斜
率
与
倾
斜
角
直
线
方
程
的
五
种
形
式
点
到
直
线
的
距
离
公
式
两
条
直
线
的
位
置
关
系
圆
的
标
准
及
一
般
方
程
直
线
与
圆
的
位
置
关
系
圆
与
圆
的
位
置
关
系
空
间
两
点
的
距
离
公
式
了
解
空
间
直
角
坐
标
系
直线与直线方程
直线的倾斜角和斜率
直线的方程
两直线的位置关系
一、直线与直线方程
1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是
2、直线的斜率
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的
倾斜程度。
直线的斜率计算公式：
形式 条件 方程 应用范围
点斜式 过点( x0,y0),
斜率为k
斜截式 在y轴上的截距为
b,斜率为k
两点式 过P1（x1, y1),
P2（x2, y2)
截距式 在y轴上的截距为
b,在x轴上的截距
为a
一般式 任何直线
两直线平行的判定:
2)若
1)若
两直线相交的判定:
1)若
相交
2)若
相交
两直线垂直的判定:
2)若
1)若
（1）点 到直线
距离：
4.点到直线的距离，平行线的距离
（2）直线 到直线
的距离：
两直线垂直的判定:
1)若
2)若
圆
的
方
程
直线与圆、圆与圆的位置关系
圆与圆方程
求曲线方程
圆的标准方程
圆的一般方程
二、圆的方程
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，
1.曲线与方程
（1）建立适当的坐标系，用 (x，y) 表示曲线上任意一
点M的坐标；
（2）用坐标x,y表示关系式，即列出方程f(x,y)=0;
（3）化简方程 f(x,y)= 0;
（4）验证x、y的取值范围。
2.求曲线方程
圆的标准方程
圆的一般方程
圆的一般方程：
位置关系
直线与圆的位置关系:
或
或
或
相离
相切
相交
判断方法
d>R+r d=R+r
d= |R-r||R-r|
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