七年级数学下册第2章整式的乘法2-2乘法公式课件（湘教版）

第2章 整式的乘法 2.2 乘法公式 2.2.1 平方差公式 计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )( a-1 )=a2-a+a-12= ， ( a+2 )( a-2 )=a2-2a+2a-22= ， ( a+3 )( a-3 )=a2-3a+3a-32= ， ( a+4 )( a-4 )=a2-4a+4a-42= . a2-12 a2-22 a2-32 a2-42 我们用多项式乘法来推导一般情况：( a+b ) ( a-b )=a2-ab+ab-b2=a2-b2. 思考 我们把 ( a+b )( a-b )=a2-b2. 叫做平方差公式，即两个数的和与这两个数的 差的积等于这两个数的平方差. 如图（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b 的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个 长方形，再将这两个长方形拼成如图（2）所示的长 方形，你能用这两个图解释平方差公式吗？ a b （1） a b a-b （2） 讨论 图（2）中的面积为：( a+b )( a-b )，图（1）中的剩 余部分的面积为a2-b2.由题可知，图（2）的面积为 图（1）剩余部分的面积，所以( a+b )( a-b )=a2-b2. 对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以 利用该公式进行简便计算. 【例1】运用平方差公式计算： （1）( 2x+1 )( 2x-1 )； （2）( x+2y )( x-2y ) 解：（1）( 2x+1 )( 2x-1 ) = ( 2x )2-12 = 4x2-1. （2）( x+2y )( x-2y ) = x2-( 2y )2 = x2-4y2. 【例2】运用平方差公式计算： （1） ； （2）( 4a+b )( -b+4a ). 解：（1） （2）( 4a+b )( -b+4a ) = ( 4a+b )( 4a-b ) = ( 4a )2-b2 = 16a2-b2. 【例3】计算：1002×998. 解：1002×998 =( 1000+2 )( 1000-2 ) =10002-22 =999996. 运用平方差 公式可以简 化一些运算. 1.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）( x-2 )( x+2 )=x2 -2； （2）( -2x-1 )( 2x-1 )=4x2-1. 答案：（1）、（2）均不对； （1）( x-2 )( x+2 )=x2 -4； （2）( -2x-1 )( 2x-1 )=1-4x2. 练习 2.运用平方差公式计算： （1）( m+2n )( m-2n )； （2）( 3a+b )( 3a-b )； （3）(0.5x-y)( 0.5x+y )； （4）( -1+5a )( -1-5a ). 答案：（1）m2-4n2； （2）9a2-b2； （3）0.25x2-y2； （4）1-25a2. 3.计算： （1）202×198； （2）49.8×50.2. 答案：（1）39996；（2）2499.96. 通过本节课，你有什么收获 ？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。 我思 我进步 2.2.2 完全平方公式 计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22， ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32， ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况： ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2. 思考 ( a-b )2=? 把( a+b )2=a2+2ab+b2中的“b”换做“-b”，试试看. ( a-b )2=[a+( -b )]2=a2+2a( -b )+( -b )2=a2-2ab+b2. 我们把 ( a+b )2=a2+2ab+b2，( a-b )2=a2-2ab+b2. 都叫做完全平方公式，即两数和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍. 讨论 把一个边长为a+b的正方形按如图分割成4块，你能 用这个图来解释完全平方公式吗？ ab ab a2 b2 a b a b由图可知，大正方形的面积为 ( a+b )2 ；分割成的四块的面积和为 a2+ab+ab+b2，即a2+2ab+b2. 由题可知，大正方形的面积与四个小 正方形的面积相等，所以有( a+b )2=a2+2ab+b2. 讨论 【例1】运用完全平方公式计算： （1）( 3m+n )2； （2） 解：（1）( 3m+n )2 = ( 3m )2+2·3m·n+n2 = 9m2+6mn+n2. （2） 1.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）( x+2 )2=x2 +4； （2）( -a-b )2=a2-2ab+b2. 答案：（1）、（2）均不对； （1）( x+2 )2=x2 +4x+4； （2）( -a-b )2=a2+2ab+b2. 练习 2.运用完全平方公式计算： （1）( x+4 )2； （2）( 2a-3 )2； （3） 答案：（1）x2+8x+16；（2）4a2-12a+9； （3） ( a-b )2与( b-a )2，( a+b )2与( -a-b )2相等吗？为什么 ？ 相等.因为( b-a )2=[-( a-b )]2=( a-b )2，所以( a-b )2= ( b-a )2；又因为( -a-b )2=[-( a+b )]2=( a+b )2，所 以( a+b )2=( -a-b )2. 也可用完全平方公式将它们分别展开，也可得到 相等. 讨论 【例2】运用完全平方公式计算： （1）( -x+1 )2； （2）( -2x-3 )2. 解：（1）( -x+1 )2 = ( -x )2+2( -x )·1+12 = x2-2x+1. （2）( -2x-3 )2. = [-( 2x+3 )]2. = ( 2x+3 )2. = 4x2+12x+9. 【例3】计算： （1）( a+b )2-( a-b )2； （2）( a+b+1 )2. 解：（1）( a+b )2-( a-b )2 = a2+2ab+b2-( a2-2ab+b2 ) = 4ab. （2）( a+b+1 )2 = ( a+b )2+2( a+b )+1 = a2+2ab+b2+2a+2b+1. 【例4】计算： （1）1042； （2）1982. 解：（1）1042=( 100+4 )2 = 1002+2×100×4+42 = 10000+800+16 = 10816. （2）1982=( 200-2 )2 = 2002-2×200×2+22 = 40000-800+16 = 39204. 1.运用完全平方公式计算： （1）( -2a+3 )2； （2）( -3x+0.5 )2； （3）( -x2-4y )2； （4）( 1-2b )2. 答案：（1）4a2-12a+9； （2）9x2-3b+0.25； （3）x4+8x2y+16y2； （4）1-4b+4b2. 练习 2.计算： （1）( x+2y )2-( x-2y )2； （2）( a-b+1 )2. 答案：（1）8xy； （2）a2-2ab+b2+2a-2b+1. 3.计算： （1）1032； （2）2972. 答案：（1）10609；（2）88209. 通过本节课，你有什么收获 ？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。 我思 我进步 2.2.3 运用乘法公式进行计算 （1）( x+1 )( x2+1 )( x-1 )=？ （2）(x+y+1)( x+y-1 )=? 思考 对于问题（1），如果直接按从左至右的运算顺序 进行计算，计算过程很繁琐而且容易出错.通过观 察，发现( x+1 )与( x-1 )可以凑成平方差公式，然 后再与( x2+1 )相乘可以化简运算. ( x+1 )( x2+1 )( x-1 ) =( x+1 )( x-1 )( x2+1 ) （交换律） =( x2-1 )( x2+1 ) =x4-1. 对于问题（2），通过观察，发现可以把x+y看作 一个整体，这样就可以用平方差公式来计算. (x+y+1)( x+y-1 ) =[( x+y )+1][( x+y )-1] =( x+y )2-1 =x2+2xy+y2-1. 遇到多项式的乘法时，我们要首先 观察式子的特征，看能否运用乘法 公式，以达到简化运算的目的. 【例1】运用乘法公式计算： （1）[( a+3 )( a-3 )]2； （2）( a-b+c )( a+b-c ). 解：（1）[( a+3 )( a-3 )]2 = ( a2-9 )2 = ( a2 )2-2a2·9+92 = a4-18a2+81. （2）( a-b+c )( a+b-c ) = [a-( b-c )][a+( b-c )] = a2-(b-c)2 = a2-( b2-2bc+c2 ) = a2-b2+2bc-c2. 【例2】一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还 多1m，它的面积就增加到原来的4倍还多21m2，求 这个正方形花圃原来的边长. 解：设正方形花圃原来的边长为xm. 由数量关系，得 ( 2x+1 )2=4x2+21， 化简，得 4x2+4x+1=4x2+21， 即 4x=20， 解得 x=5. 答：这个正方形花圃原来的边长为5m. 1.运用乘法公式计算： （1）( x-2 )( x+2 )( x2+4 )； （2）( a+2b-1 )( a+2b+1 )； （3）( 2m+n-1 )( 2m-n+1 )； （4）( x+1 )2( x-1 )2. 答案：（1）x4-16； （2）a2+4ab+4b2-1； （3）4m2-n2+2n-1； （4）x4-2x2+1. 练习 2.计算：( a-b-c )2. 答案：a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc. 3.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加 16cm2，求这个正方形原来的边长. 答案：5cm. 通过本节课，你有什么收获 ？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。 我思 我进步