八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形9-4矩行，菱形，正方形课件（苏科版）

第9章 中心对称图形—— 平行四边形 9.4 矩形、菱形、正方形（第一课时） 温故而知新 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 平行四边形 一个角是直角 矩形 矩 形 的 性 质 边 角 对角线 矩形的对边平行且相等 矩形的四个角都是直角 矩形的 两条对角线相等且互相平分 1、我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，四个 角（或三个角）都是直角的四边形是矩形吗？ A B C D 已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形。 A B C D ∟ ∟ ∟ 证明：∵ ∠A=∠B=90°， ∴ ∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC. 同理可证：AB∥CD ，∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 矩形的判定方法： 有三个角是直角的四边形是矩形 。 A B C D ∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 几何语言： 情境一：工人师傅为了检验两组对边 相等的四边形窗框是否成矩形，一种 方法是量一量这个四边形的两条对角 线的长度，如果对角线的长相等，则 窗框一定是矩形，你知道为什么吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。 已知：平行四边形ABCD，AC=BD。 求证：四边形ABCD是矩形。 A B C D 证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD ，∴ △ABC≌ △DCB（SSS）， ∵ AB//CD， ∴ ∠ABC+∠DCB=180°， ∴ ∠ABC=∠DCB=90°. 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. ∴ ∠ABC=∠DCB. 对角线相等的平行四边形是矩形 。 矩形的判定方法： 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AC=BD ∴四边形ABCD是矩形. （对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） A B C D O（或 OA=OC=OB=OD） 你能归纳出矩形的几种判定方法吗 ？ 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形 。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 有三个角是直角的四边形是矩形 。 方法1 ： 方法2 ： 方法3 ： 议一议 1.有一个角是直角的平行四边形； 2.对角线相等的平行四边形； 3.有三个角是直角的四边形. 矩形. 判断矩形有哪几种方法? 矩形的判定方法 矩形. 矩形. 对于 四边形，满足哪些条件就可以得到矩形呢？任意平行 例1、 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°, D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平 分线.求证：四边形DECF是矩形. EF D C A B 证明： ∵∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴DC= AB=DA=DB. ∵ DC=DA，DF平分∠ADC， ∴DF⊥AC， 即∠DFC=90 °， 同理∠DEC=90 °， ∴四边形DECF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）. 例2 、如图，直线 l1∥l2 ，A、C是直线l1上任意的两点， AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，垂足分别为B、D，线段AB、CD相 等吗？为什么？ 两条平行线之间的距离处处相等. A DB C l2 l1 解：由AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，可知 AB ∥ CD. 又因为l1∥l2 ， 所以四边形ABCD是矩形， AB=CD. 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （8）一组对角互补的平行四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形; 1.已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｅ、 Ｆ、Ｇ、Ｈ分别在OA、OB、OC、OD上，且AE＝BF ＝CG＝DH。求证：四边形EFGH是矩形. Ｂ A Ｃ Ｄ ＯＥ Ｆ Ｇ Ｈ 自学检测一： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AC=BD， AO=CO= AC，BO=DO= BD， ∴AO=CO=BO=DO. 又∵ AE＝BF＝CG＝DH， ∴ EO=FO=GO=HO， ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵ EO=FO=GO=HO，∴ EG=FH. ∴四边形EFGH是矩形. 2、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD 分别相交于点B、D． （1）猜想AC和BD间的关系是 ； （2）试用理由说明你的猜想． 相等且互相平分 课堂小结 1.矩形的判定定理 （1）对角线相等的平行四边形是矩形。 （2）有三个角是直角的四边形是矩形。 2.矩形的性质在证明中的应用。 （对角线相等和四个角都是直角） 3.线段和角转移的方法。 第二课时 情境创设 图片中有你熟悉的图形吗？这些图形有什么共同特征？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵在□ABCD中，AB＝BC， ∴□ABCD是菱形． 数学化认识 符号语言： 菱形的定义： A B C D 菱形是一个特殊的平行四边形. 菱形具有平行四边形的所有性质. 菱形和平行四边形有什么关系? 菱形既然是一个特殊的平行四边形，那么菱形还有哪 些特殊的性质? 探索活动一： 菱形的四条边相等． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA． 数学化认识 菱形的性质： 菱形的对角线互相垂直． 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD． A B C D   菱形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗?如果是 ，请找出它的对称中心和对称轴． 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 探索活动三： A B C D 菱形的对角相等； 菱形的对角线互相垂直平分； 从角看： 从对角线看： 从边看：菱形的对边平行； 从对称性看：菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 菱形的性质： 菱形的四条边相等； 小结 第三课时 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形． 数学化认识 正方形的定义： 符号语言： A B C D ∵在□ABCD中，∠A=90°，AB＝ BC， ∴□ABCD是正方形． 探索活动一： 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如何？ 正方形矩形 菱形 平行四边形 说明：正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 平行四边形 矩形 菱形 正方形 中心对称图形 轴对称图形 对边平行且相等 四边相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 我们已经学习了平行四边形、矩形、菱形的性质，请在下表 相应的空格内打“√”： 探索活动二： √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 正方形的四条边都相等． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°， OA＝OB＝OC＝OD， AC＝BD，AC⊥BD ． 数学化认识 正方形的性质： 符号语言： 正方形的四个角都是直角． 正方形的对角线相等且互相垂直平分． A B C D O 矩形添加什么条件可成为正方形？菱形添加什么 条件可成为正方形？你能归纳出判定正方形的条件吗 ？ 探索活动三： ∵在矩形ABCD 中，AB=BC, ∴矩形ABCD是正方形. 数学化认识 正方形判定定理： 符号语言： 有一组邻边相等的矩形是正方形． 有一个角是直角的菱形是正方形． ∵在菱形ABCD 中，∠A＝90°， ∴矩形ABCD是正方形. A B C D 下列说法正确吗？为什么？ 探索活动四： (1) 四条边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形； (2) 有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形； (3) 有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形； (4) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 例题讲解 例1 、已知：如图，在正方形ABCD中，点A’、B’、C’、 D’分别在AB、BC、CD、DA上，且AA’＝BB’＝CC’＝ DD’． 求证：四边形A’B’C’D’ 是正方形． 想一想：你还有其他证明方法吗？试一 试． 例2 、E是正方形ABCD边BC延长线上一点，且 CE=AC.求∠E的大小. A D B C E 注：利用好正方形中特殊的角 例题讲解 例3 、在正方形ABCD中， 点E、F分别在AB、BC上， 且AE=BF，AF与DE相交于点G.从所给的条件中，你能 得出哪些结论？为什么？ A D B C E F G 例题讲解