七年级数学下册第3章因式分解3-1多项式的因式分解课件（湘教版）

第3章 因 式 分 解 3.1 多项式的因式分解 【知识再现】 1.单项式与多项式相乘,就是根据_____________律用单 项式去乘多项式的___________,再把所得的积________. 用字母表示为m(a+b+c)=_____________.  乘法分配 每一项 相加 ma+mb+mc 2.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的___________ 分别乘另一个多项式的___________,再把所得的积_____ _____.用字母表示为(m+n)(a+b)=________________.  每一项 每一项 相 加 ma+mb+na+nb 【新知预习】阅读教材P55【说一说】和P56【例题】, 解决下面的问题,并归纳结论: 计算下列各题: ①30=______×______×______.  ②1-9a2= _____________________.  2 3 5 (1+3a)(1-3a) 观察上述各式和计算结果,问题①中的整数30,存在因 数2、______和______;问题②中的多项式1-9a2,存在因 式___________和___________.  3 5 (1+3a) (1-3a) 你发现的规律: 1.因式 对于两个多项式f与g,如果有多项式h使f=_______,那么 把g叫做______的一个因式.此时,h也是______的一个因 式.  gh f f 2.因式分解 把一个多项式表示成若干个多项式的_________的形式, 称为把这个多项式因式分解.  3.因式分解与整式乘法的关系 乘积 【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 1.下列各式由左到右的变形是因式分解的是 (   ) A.x2-5x+6=x(x-5)+6 B.x2-5x+6=(x-2)(x-3) B C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6 D.x2-5x+6=(x+2)(x+3) 2.式子5a2-5a=5a(a-1)的变形是_____________. (填“因式分解”或“整式乘法”)  3.已知多项式M可因式分解为3(1+2x)(-2x+1),求M. 解:M=3(1+2x)(-2x+1) =3(1-4x2)=3-12x2. 因式分解 知识点一 因式分解的概念(P56例1拓展) 【典例1】下列由左到右的变形,哪些是因式分解?哪 些不是因式分解?并写明理由. (1)(x+3)(x-3)=x2-9. (2)x2+3x-10=(x+5)(x-2). (3)x2-9+2x=(x+3)(x-3)+2x. (4)4a2-4ab+b2=(2a-b)2. 【思路点拨】判断等式变形是不是因式分解,关键看多 项式是不是由代数和的形式转化为整式乘积的形式. 【自主解答】(2)和(4)是因式分解,是把多项式由代数 和形式变成乘积的形式;(1)和(3)不是因式分解,(1)是 进行整式的乘法运算,(3)没有化成乘积的形式. 【学霸提醒】 因式分解的三个注意问题 1.因式分解的对象必须是多项式. 2.因式分解的结果必须是积的形式. 3.因式分解结果中每个因式都必须是整式. 【题组训练】 1.下列由左到右的变形,属于因式分解的是(   ) A.a(x+y)=ax+ay B.ax2-9a=a(x+3)(x-3) B C.(x-4)2=x2-8x+16 D.x2-4+5x=(x+2)(x-2)+5x ★2.x2+x-6=(x-2)(x+3)是把多项式__________化成 ________与________的积的形式,这是多项式的 _____________.  ★3.已知(x+2)(x-2)=x2-4,(x+2)· __________=(x+2)2, 故x2-4和(x+2)2都含有的因式为________.  x2+x-6 x-2 x+3 因式分解 (x+2) x+2 ★★4.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些 不是? (1)24x2y=4x·6xy. (2)(x+5)(x-5)=x2-25. (3)x2+2x-3=(x+3)(x-1). (4)9x2-6x+1=3x(3x-2)+1. (5)x2+1=x . 解:(1)因式分解是针对多项式来说的,故(1)不是因式 分解. (2)右边不是整式积的形式,不是因式分解. (3)是因式分解. (4)右边不是整式积的形式,不是因式分解. (5)右边不是整式积的形式,不是因式分解. 则(1)(2)(4)(5)不是因式分解,(3)是因式分解. 知识点二 因式分解与整式乘法的关系 (P56例2拓展) 【典例2】甲、乙两个同学进行因式分解x2+ax+b时,甲 看错了b,分解的结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解的 结果为(x+1)(x+9),求a+b的值. 【思路点拨】由于整式乘法与因式分解是互逆运算,所 以可以利用整式乘法运算来解决问题. 【自主解答】(x+2)(x+4)=x2+2x+4x+8 =x2+6x+8. 因为甲看错了b,所以a=6. (x+1)(x+9) =x2+9x+x+9 =x2+10x+9. 因为乙看错了a,所以b=9,所以a+b=15. 【学霸提醒】 因式分解与整式乘法的联系与区别 1.联系:因式分解与整式乘法是两种互逆的恒等变形, 因此因式分解的结果是否正确,可以用整式乘法来检验. 2.区别:整式的乘法是几个整式相乘,其结果是和的形 式,因式分解是将多项式化成几个整式的积的形式,其 结果是积的形式,因此整式的乘法是:“积化和”,因式 分解是“和化积”. 【题组训练】 1.把多项式x2+ax+b因式分解,得(x+1)(x-3),则a,b的 值分别是 (   )              A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3 C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-3 B ★2.下列多项式因式分解的结果是-(a+2b)(a-2b)的是 (   ) A.a2-4b2 B.a2+4b2 C.-a2-4b2 D.-a2+4b2 D ★3.若4x3-6x2=2x2(2x+k),则k= _______. -3 ★★4.已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因式分解的结 果是(2x-1) ,求m,n的值. 解:(2x-1) =2x2+ x-x- =2x2- x- . 则m=- ,n=- . ★★5.已知多项式x4+2x3-x+m能因式分解,且有一个因 式为x-1. (1)当x=1时,求多项式x4+2x3-x+m的值. (2)根据(1)的结果,求m的值. (3)仿照(1)的方法,试判断x+2是不是多项式x4+2x3-x+m 的一个因式. 解:(1)根据题意得x4+2x3-x+m=(x3+ax2+bx+c)(x-1), 当x=1时,x4+2x3-x+m=0. (2)由(1)知m=-2. (3)由x+2=0得x=-2, 当x=-2时,x4+2x3-x-2=16-16+2-2=0, 所以x+2是多项式的一个因式. 【火眼金睛】 x2-2x-15=(x+5)(x-3)是因式分解吗?为什么? 【正解】不是因式分解. 因为x2-2x-15=(x-5)(x+3) 题干所给等式左右两边不相等. 所以,不是因式分解. 【一题多变】 如果多项式x2+px-6可以因式分解为(x+q)(x-2),求 (p-q)2的值. 解:(x+q)(x-2)=x2-2x+qx-2q=x2+(-2+q)x-2q. 所以 解得 所以(p-q)2=(1-3)2=4. 【母题变式】 【变式一】(变换条件和结论)如果多项式x2+px-6有一 个因式是(x+3),求另一个因式及p的值. 解:设另一个因式是(x+n), 则x2+px-6=(x+3)(x+n), 即x2+px-6=x2+(3+n)x+3n. 所以 解得 故另一个因式为(x-2),p的值为1. 【变式二】(变换结论)若多项式x2+px-6可以因式分解 为(x+m)(x+n),其中m,n为整数,求符合条件的p的值. 解:由题意知:x2+px-6=(x+m)(x+n). 整理得,x2+px-6=x2+(m+n)x+mn. 所以 因为m,n为整数,所以m,n满足的值分别为: 所以p的值可能为:1,-1,-5,5.