七年级数学下册第4章相交线与平行线4-5垂线课件（湘教版）

4.5 垂  线 【知识再现】 1.直角等于90°;一个平角等于______个直角.  2.经过直线外一点有且_____________直线平行于这条 直线.  3.连接两点间的线段的长度叫做这两点间的_________.  2 只有一条 距离 【新知预习】阅读教材P96-P100,解决以下问题: 1.垂直的定义 如图,直线AB和CD相交于点O,∠AOC=90°, 则这两条直线叫做_____________,记做___________, 其中一条直线叫做另一条直线的_________,它们的交 点叫_________.  互相垂直 AB⊥CD 垂线 垂足 2.两条重要结论 (1)在同一平面内,如图,a⊥m,b⊥m, 所以 ∠1=∠2=_________(垂直的定义), 所以_________(同位角相等,两直线平行).  归纳:在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线 _________.  90° a∥b 平行 (2)如图,在同一平面内,如果a∥b,m⊥a, 因为m⊥a,所以 ∠1=_________,  因为a∥b,所以____________,  所以∠2=_________,所以_________.  归纳:在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行 线中的一条,那么这条直线_________于另一条.  90° ∠1=∠2 90° b⊥m 垂直 3.已知直线L和直线上一点A,过点A画直线L的垂线只能 画_______条;经过直线L外一点B画直线L的垂线也只能 画_______条.  垂线的基本事实:在同一平面内,过一点______________ 条直线与已知直线垂直.  一 一 有且只有一 4.如图,设PO⊥AB于O,线段PO叫做点P到 直线AB的_______线段.PA,PB,PC,PD叫做_______线段.  从直线外一点到这条直线的垂线段的_________叫做点 到直线的距离.  垂线的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段 中,___________最短.简单说成:___________最短.  垂 斜 长度 垂线段 垂线段 【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 1.在同一平面内,下列语句正确的是 (   ) A.过一点有无数条直线与已知直线垂直 B.和一条直线垂直的直线有两条 C C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.两直线相交,则一定垂直 2.如图,OA⊥OB,若∠1=55°,则∠2的度数是 (   ) A.35° B.45° C.55° D.65° A 3.体育课上,老师测量跳远成绩的依据是 (   ) A.两直线间的距离 B.两点之间,线段最短 C.垂线段最短 D.两点确定一条直线 C 知识点一 垂线的概念及角的计算(P97例1拓展) 【典例1】如图,直线AB,CD相交于 点O,OM⊥AB. (1) 若∠1=∠2,求∠NOD的度数. (2) 若∠1= ∠BOC,求∠AOC和∠MOD的度数. 【尝试解答】(1) 因为OM⊥AB,∠1=∠2, 所以∠1+__________=∠2+__________=_________, 即∠CON=90°,………………垂直定义  所以ON⊥CD………………垂直定义 所以∠NOD=_________………………垂直定义  ∠AOC ∠AOC 90° 90° (2) 因为OM⊥AB,∠1= ∠BOC, 所以∠1=_________,∠BOC=__________,  ………………角度的计算 又因为∠AOC+∠BOC=__________,  …………………………邻补角定义 30° 120° 180° 所以∠AOC=_________, …………角度的计算  因为∠1+∠MOD=180°,…………邻补角定义 所以∠MOD=__________.…………角度的计算  60° 150° 【学霸提醒】 垂直的两层意义 (1)位置关系:垂直是两直线相交的特殊位置关系. (2)数量关系:垂直说明某些角的度数是90°,为计算角 的度数提供了数量关系. 【题组训练】 1.已知在同一平面内:①两条直线相交成直角;②两条 直线互相垂直;③一条直线是另一条直线的垂线.那么 下列因果关系:①→②③;②→①③;③→①②中,正确 的有 (   )                   A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 D ★2.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O, ∠EOD=50°,则∠BOC的度数为__________.世纪金榜导 学号  140° ★★3.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线. (1) ∠AOC等于∠BOD吗?请说明理由. (2)若∠BOD=32°,求∠AOE的度数. 解:(1)∠AOC=∠BOD.理由如下: 因为OA⊥OB,OC⊥OD, 所以∠AOB=∠COD=90°, 所以∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC, 即∠AOC=∠BOD. (2)因为OA⊥OB, 所以∠AOB=90°, 所以∠AOE=90°-∠BOD=58°. 知识点二 垂线的性质及其应用(P100做一做T2拓展) 【典例2】如图,AOB为一条在O处拐弯的河,要修一条从 村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿 PM修路,二是沿PO修路.如果不考虑其他因素,这两种方 案哪一个经济一些?它是不是最佳方案?如果不是,请你 帮助设计出最佳的方案,并简要说明理由. 【思路点拨】根据点到直线的距离定义和垂线段最短 分析得出结论. 【自主解答】因为在直角三角形POM中,PM>PO, 所以这两种方案沿PO修路更经济些, 它不是最佳方案,过点P作PN⊥OB于点N, 因为OP>PN,PN是点P到OB上的最短路线, 所以此方案是最佳方案. 【学霸提醒】 认识垂线及其性质的四点注意 (1)线段和射线都有垂线. (2)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数值,而垂 线段是一个图形,对此要分清楚. (3)在实际问题中,确定路径最短或最短距离问题时,首 先将实际问题转化成数学问题,再作出垂线,并求出具 体数值. (4)要分清“两点之间线段最短”和“垂线段最短”. 【题组训练】 1.(2019·建邺区期末)若直线l外一点P与直线l上四点 的连线段长分别为1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,则点P到直 线l的距离最接近 (   ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm A ★2.如图所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段 (   ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 C ★3.如图所示,已知ON⊥L,OM⊥L,所以OM与ON重合,其 理由是 (   ) A.过两点有且只有一条直线 B.过一点只能作一条直线 C C.在同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直 D.垂线段最短 ★★4.如图所示,建筑工人用“铅垂线”可检查所砌的 墙面是否与水平线垂直,你知道其中道理吗? 解:铅垂线总是垂直于水平面,建筑工人用铅垂线看所 砌墙面是否与铅垂线重合来判断所砌墙面是否与水平 线垂直. 【火眼金睛】 如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5 cm,BC=3 cm,则BD长度 的取值范围是 (  ) A.大于3 cm B.小于5 cm C.大于3 cm或小于5 cm D.大于3 cm且小于5 cm 【正解】选D.由垂线段最短可知:AB>BD>BC, 所以BD大于3 cm,小于5 cm. 【一题多变】 如图,已知直线AB上一点O,OC⊥AB,OD⊥OE, 若∠COE= ∠BOD. (1)求∠COE,∠BOD,∠AOE的度数. (2)若OF平分∠BOE,求∠AOF的度数. 解:(1)因为∠COE= ∠BOD, 所以设∠COE=x,则∠BOD=5x, 因为OD⊥OE,所以∠DOE=90°, 所以∠BOE=∠BOD-∠DOE=5x-90°, 因为OC⊥AB,所以∠BOC=90°, 所以∠COE+∠BOE=90°, 所以x+5x-90°=90°,解得x=30°, 所以∠COE=30°, 所以∠BOD=5x=150°, 所以∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+30°=120°. (2)因为OF平分∠BOE, 所以∠BOF= ∠BOE. 因为∠BOE=90°-∠COE=60°, 所以∠BOF=30°, 所以∠AOF=180°-∠BOF=150°. 【母题变式】 如图,直线AB与CD相交于O,OE是∠AOC的平分线 ,OF⊥CD, OG⊥OE, ∠BOD=52°, (1)求∠AOF的度数. (2)∠EOF与∠BOG是否相等?请说明理由. 解:(1) 因为OF⊥CD, 所以∠COF=90°, 又因为∠AOC与∠BOD是对顶角, 所以∠AOC=∠BOD=52°, 所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-52°=38°. (2)相等.理由: ∠AOC与∠BOD是对顶角, 所以∠AOC=∠BOD=52°, 因为OE是∠AOC的平分线, 所以∠AOE= ∠AOC=26°, 又因为OG⊥OE, 所以∠EOG=90°, 所以∠BOG=180°-∠AOE-∠EOG=64°. 而∠EOF=∠AOF+∠AOE=38°+26°=64°, 所以∠EOF=∠BOG.