九年级数学下册第三十章二次函数30-3由不共线三点的坐标确定二次函数课件（冀教版）

第三十章 二次函数 30.3由不共线三点的坐标确定二次 函数* 学习目标 1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点） 2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题. （重点） 复习引入 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已 知几个点的坐标求出它的表达式？ 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么 ？ 2个 2个 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 特殊条件的二次函数的表达式一 典例精析   例1.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3) 和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)， 3=4a+c， －3=a+c， ∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5. ∴ a=2， c=－5. 解得 关于y轴 对称   1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5）， 做一做 图象经过 原点 8=4a-2b， 5=a-b， ∴ 解得a=-1,b=-6. ∴ y=-x2-6x. 顶点法求二次函数的表达式二 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次 函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 （-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 归纳总结 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点 法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标 为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因 此，可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9. 解得 ∴所求的二次函数的解析式是 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点. 所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、 x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 ∴a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次 函数的表达式. 交点法求二次函数的表达式三 x y O 1 2-1-2-3-4 -1-2 -3 -4 -5 1 2 归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交 点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关 于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平 行于x轴，但不可以平行于y轴. 一般式法二次函数的表达式四 探究归纳 问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系 数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列 表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0）， （0，-3）代入y=ax2+bx+c得 ①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3）， 试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1， b=-4 ，c=- 3. ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3. 待定系数法 步骤： 1.设： （表达式） 2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式） 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 例3 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10) 三点，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于 这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得 4a+2b+1=4， 9a+3b+1=10， 解这个方程组，得 ∴所求的二次函数的表达式是 1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a (x-h)2+k一样都是顶点式，只不过 前三者是顶点式的特殊形式. 注意 x y O 1 2-1-2-3-4 3 2 1 -1 3 4 5 2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式 是 . 顶点坐标是（1，6） y=-2(x-1)2+6 3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和 (1，1)．求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c． 依题意得 ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4. a＋b＋c＝1， c＝－4， a-b＋c＝-5， 解得 b＝3， c＝－4， a＝2， 4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过 点M(0，1)，求此函数的表达式． 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所 以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1. 5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交 于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题： (1)求抛物线的表达式； 解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3， ∴b＝6，∴c＝5， ∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5； (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在 对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积． (2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称． ∵点C在对称轴左侧，且CD＝8， ∴点C的横坐标为－7， ∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12. ∵点B的坐标为(0，5)， ∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7， ∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28. 课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标 或对称轴或最值 ③已知抛物线与x 轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式