高中数学必修41.6三角函数模型的简单应用ppt课件

1.6 三角函数模型的简单应用 复习引入 三角函数的应用十分广泛，对于与角有关或具有周期性 的现象的实际问题，我们可以建立一个三角函数，通过研 究其图象及进行定量分析，就能解决相应问题.这是一种 数学思想，这种思想需要结合具体问题的研究才能领会和 掌握. 函数 的图象可由函数 的图象怎样 变换得到？ 思考1： 思考2：正、余弦函数更为一般化的形式分别为 那么b对其图象有何影响？ 的图象向上(b>0)或 向下(b>0)平移|b|个单位即可得到 的图象. (b影响到图象的上下位置)结论： 例1. 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数 （1）求这一天的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式. ∵点（6，10）是五点法作图中的第四点， 故：所求函数解析式为 题类Ⅰ：根据正、余弦函数的某段图象去求其解析式 解：(1) 观察图象可知，这段时间的 最大温差是：30-10=20(ºC) 从图中可以看出，从6时到14时的 图象是函数y=Asin(ωx+φ) +b的半个周期的图象， （2） ∴ ∴有 ∴ 解得： 此时函数解析式成： 特别注意：要根据 实际问题写出所求 的函数的定义域 若所用点为五点法中的“第一点”，则令ωm＋φ＝0； 若所用点为五点法中的“第二点”，则令ωm＋φ＝ ； 若所用点为五点法中的“第三点”，则令ωm＋φ＝π； 若所用点为五点法中的“第四点”，则令ωm＋φ＝ ； 若所用点为五点法中的“第五点”，则令ωm＋φ＝2π. (1)设解析式为y＝Asin(ωx＋φ)+b 或y＝Acos(ωx＋φ+b) 根据正、余弦函数的一段的图象求出该函数的解析式 做法步骤为(有时先把图象补足为一个周期)： y x0(2)找出五点法中的5个点中的已知点； (3)由图象偏离x轴的程度去求出b，如 b= y1= y3= y5，或 等 (4)由图象的最高点及最低点求出A，如 等 (5)求周期T，常用 (6)用图上某个已知点的坐标(m,n)的横坐标m去求出φ值，做法是： 例2.画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期 解：函数图象如下： x y 1 -1 观察图象可知，函数y=|sinx|的的周期是T=π。 题类Ⅱ：根据函数解析式画图象 据此可画出其图象为 xo y 据 思考：如何画出函数 的图象？ 这里的画法实际上就是：把图象在X轴上方的部分保留，而在 X轴下方的部分翻折到上方. 对例2，类似地，我们仿此画法 作|f(x)|的图象的做法是：先作出f(x)的图象，f(x)在x轴上方的图象 不动，在x轴下方的图象翻折到x轴上方即可得到|f(x)|的图象 题类Ⅲ：据实际问题建立三角函数模型后再去解决问题 例3.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太 阳直射纬度， 为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是 θ=90º-| - δ |.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值. 如果在北京地区（纬度数约为北纬40º）的一幢高为H的楼房 北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮 挡，两楼的距离不应小于多少？ 太阳光 地平线分析： 北京M A C B h 0 h 正 午 阳 光 由已知：δ是太阳直射时的纬度， δ= δ= θ是正午太阳的高度角 θ φ是该地的纬度值 φ= 所以正午阳光时段对应的δ的取值范围是δ∈ 题中还给出了一个关鍵式子： 据题意：在北京地区…… 因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应考虑太阳 直射南回归线的情况. 据地理知识 解：如图，A、B、C分别太阳 直射北回归线、赤道、南回归 线时，楼顶在地面上的投影点， 要使新楼一层正午的太阳全年 不被前面的楼房遮挡，应取太 阳直射南回归线的情况考虑， 此时的太阳直射纬度为-23º26'， 根据太阳高度角的定义，有∠C=90º-|40º-(-23º26')|=26º34' 即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高 两倍的间距。 h 0 hC B A M -23º26'23º26' 0º 40º 依题意两楼的间距应不小于MC. 例4.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般 地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠 近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的 时间与水深的关系表： 时刻 水深（米） 时刻 水深（米） 时刻 水深（米） 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 （1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， 并给出整点时的水深的近似数值。（精确到0.001） （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例 规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能 进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始 卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必 须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 分析： 问题1：港口水深是怎样变化的？ 为了解这一点，可画出散点图： 由散点图可知：水深的变化并不是杂乱无 章，而是呈现出一种规律 ——周期性 问题2：潮汐对轮船进出港口有什么影响？ 轮船必须在安全水深内进出港口，否则会搁浅. 问题3：上述变化过程中，是哪些量发生变化？哪个量是自变量？ 哪个是因变量？ 上述变化过程中，时间、水深都发生变化，是水深是随时间变化， 因此，时间是自变量，水深是因变量(函数) 问题4：选择一个适当的函数来近似描述水深与时间的关系？ 因水深变化呈现周期性，所以可选用 时刻 水深（米） 时刻 水深（米） 时刻 水深（米） 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 来描 述这一变化现象 （1）以时间为横坐标，水深为纵坐标， 在直角坐标系中画出散点图， ∴这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为： 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值： 解： 从数据和图象可以得出： 可以考虑用函数 来刻画水深与时间之间的对应关系. 根据图象， 由 解得 此时得 ∵点B(0，5)是五点法中的第一点， ∴有 解得 y=5.5 A B C D (2) 一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米， 安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的 距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ 分析：货船的安全水深为 4+1.5=5.5(米)， 则实际水深Y应満足：Y≥5.5时才可以进出港 由Y≥5.5 得 根据周期性可得： 进出港时段问题1：图中哪个时段可以呆在港口 ？ 呆在港口的时间应如何计算？ A～B或C～D时段， 即：进港时间大约是A或C点所 对应的时间，出港时间大约是 B或D点所对就的时间 问题2：如何求出 A、B、C、D四点 所对应的时间？ 令 (已知三角函数值求角) （2）货船需要的安全水深 为 4+1.5=5.5 （米），所以 当实际水深y≥5.5时就可以进港. 由计算器计算可得 解得 ，∴有函数周期性易得 ∴货船可以在凌晨0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港； 或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港， 解： 化简得 令 每次可以在港口停留5小时左右。 ∵ （（33））若某船的吃水深度为若某船的吃水深度为44米，安全间隙为米，安全间隙为1.51.5米，该船在米，该船在2:002:00开开 始卸货，吃水深度以每小时始卸货，吃水深度以每小时0.30.3米的速度减少，那么该船在什么时米的速度减少，那么该船在什么时 间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 问题1：卸货前需要的安全水深是多少？随着卸货船上的货物减少，卸货前需要的安全水深是多少？随着卸货船上的货物减少， 需要的安全水深是增加还是减少？需要的安全水深是增加还是减少？ 卸货前需要的安全水深是：卸货前需要的安全水深是：4+1.5=5.5(4+1.5=5.5(米米)) 随着船上的货物减少需要的安全水深应是随着船上的货物减少需要的安全水深应是减少减少 问题2：随着船上的货物减少，如何计算在某个时刻随着船上的货物减少，如何计算在某个时刻x(x≥2)x(x≥2)的吃水的吃水 深度的减少值及所需的安全水深？深度的减少值及所需的安全水深？ 设在时刻x船舶的安全水深为y1， 实际水深y≥安全水深y1 分析：“实际水深 ≥安全水深”时轮船才安全. 问题3：为确保轮船的安全，为确保轮船的安全，yy与与yy11应满中什么条件？你能求出应满中什么条件？你能求出y=yy=y11 时对应的时间时对应的时间xx的值吗？的值吗？ 由y=yy=y11 (用数形结合法或二分法) y1=5.5-0.3(x-2) (x≥2), 吃水深度的减少值为吃水深度的减少值为0.3(x-2),0.3(x-2), X时刻那么所需的安全水深为 解： （3） 设在时刻x船舶的安全水深为y， 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2), 通过计算可得： 可以看到在6时到7时之间两个函 数图象有一个交点. (这里用数形结合法解) 标系内作出这两个函数的图象， 在同一坐 当x=6时，实际水深约为5米，安全水深约为4.3米； 当x=6.5时，实际水深约为4.2米，安全水深约为4.1米； 当x=7时，实际水深约为3.8米，安全水深约为4米； 因此，为了安全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向 较深的水域。 1、三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、 地理和物理等实际问题，其解答流程大致是： 审读题意 设角建立三角函数. 分析三角函数性质 解决实际问题 小结作业 其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系， 是解决问题的关键. 实际问题的解 实际问题 数学模型 (解析式) 数学模型的解 抽象概括 画示意图 推 理 演 算 还原说明 框图表示的流程是： 2.在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运 用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质进 行解答. 作业 P65习题1.6A组—1，2，3.