高中数学必修41.2.1任意角的三角函数ppt课件

初中：在直角三角形中锐角A 的三角函数定义: A B C a b c 上述定义只限于直角三角形中的锐角， 而现在角的定义已经拓广到任意角. 如： 任意角是 在直角坐 标平面内 给出定义 正弦、余弦、正切 是在直角三角形中 给出定义 思考：如何定义任意角的三角函数？ 新课 导入 y x 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ ﹒ ﹒o 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？ ﹒ ∽ 诱思 探究 MO y x P(a,b) 一、任意角的三角函数的定义 1: O 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y)则: y 叫α的正弦 x叫α的余弦 叫α的正切 y O x 一、任意角的三角函数的定义 2: 思考、对于一个任意给定的角α，按照上述定义， 对应的sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否 惟一、即三角函数的定义符合函数的定义吗？ α的终边 P(x，y) O x y 一、任意角的三角函数的定义: 三角函数的定义域: 三角函数 定义域 (2)由于角角的集合的集合与实数集实数集之间可以建立一一对应一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数实数的函数. 说明 区别: 例题 例1、已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 . 于是， 解：由已知可得： 练习1、已知角 的终边过点 ， 求 的三个三角函数值. 于是， 解：由已知可得： 合作 演练 变式1：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a>0)，求角α的 正弦、余弦、正切值． 例题 例题 变式2：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、 余弦、正切值． 变式3: 转化与化归的思想转化与化归的思想 合作 演练 例题 理论 迁移 例2、求 的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作 ，易知 的终边与单位圆的交点坐标为 所以 思考：若把角 改为 呢? ， ﹒ ﹒ C 几个特殊角的三角函数值 角α 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o 角α 的弧 度数 sinα cosα tanα 例题 解: 1. 角α的终边经过点P(0, b)则( ) A.sin α=0 B.sin α=1 C.sin α=-1 D.sin α=±1 2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是( ) D B 练习 练习 3、任意角 与单位圆交点坐标 为 . 4、任意角 与圆 交点坐标 为 . 二、三角函数的符号 三角函数在各象限内的符号： o x y 上正下负横为0 o x y 左负右正纵为0 二、三角函数的符号 三角函数在各象限内的符号： o x y 交叉正负 二、三角函数的符号 三角函数在各象限内的符号： o x y o x y o x y 规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正” “一全二正弦，三切四余弦” 练习：课本15页练习 T4，5 例题 练习：课本15页练习 T6 例题 如果两个角的终边相同，那么这两个角 的同一三角函数值有何关系？ ？ y o x 1 M 三角函数只与角的终边位置有关，与终 边上点的位置无关，因此，终边相同的 两个角的同一三角函数值必定相等！ 终边相同的角的同一三角函数值相等： 公式一的作用： 把求任意角的三角函数值转化为求 00到3600角的三角函数值。 请口述（公式一）的弧度制形式 练习：课本15页练习 T7 例题 作业 •P21习题A组T6、7、 8（1）（2）、9 y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P α的 终边 α的 终边 α的 终边 α的 终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) (Ⅳ) (Ⅰ)(Ⅱ) (Ⅲ) 角α的终边与单位圆 交于点P.过点P作x 轴的垂线,垂足为M. |MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα| 三、三角函数线—正弦线和余弦线 【思考】为了去掉 上述等式中的绝对值 符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方 向,使它们的取值与点 P的坐标一致? 【定义】有向线段 * 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量. 在坐标系中,规定: 有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负. y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P α的 终边 α的 终边 α的 终边 α的 终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) (Ⅳ) (Ⅰ)(Ⅱ) (Ⅲ) 当角α的终边不在坐 标轴上时,以M为始点、 P为终点,规定: 当线段MP与y轴同向 时,MP的方向为正向, 且有正值y; 当线段MP与y轴反向 时MP的方向为负向, 且有负值y. MP=y=sinα 有向线 段MP叫角α的正弦线 y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P α的 终边 α的 终边 α的 终边 α的 终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) (Ⅳ) (Ⅰ)(Ⅱ) (Ⅲ) |MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα| 当角α的终边不在坐标 轴上时,以O为始点、M 为终点,规定: 当线段OM与x轴同向 时,OM的方向为正向,且 有正值x; 当线段OM与x轴反向 时,OM的方向为负向,且 有负值x. OM=x=cosα 有向线 段OM叫角α的余弦线 T T T y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P α的 终边 α的 终边 α的 终边 α的 终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) (Ⅳ) (Ⅰ)(Ⅱ) (Ⅲ) T 过点A(1,0)作单位 圆的切线,设它与α 的终边或其反向延 长线相交于点T. 有向线段AT叫 角α的正切线 这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、 AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线,统称为三角函数线 y x T M O P α的 终边 A(1,0) 当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切 线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正 切值都为0; 当角α的终边与y轴重合时,余 弦线变成一个点,正切线不存 在,此时角α的正切值不存在. 例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: xO y -1 -1 1 1 P M 例题 -1 x y 1 1-1 O 例:在单位圆中作出符合条件的角的终边: -1 x y 1 1-1 O 例:在单位圆中作出符合条件的角的终边: 变式： 写出满足条件 ≤cosα＜ 的角α 的集合. xO y -1 -1 1 1 ＜α≤ ≤α＜ 课堂 练习 1.已知是第三象限且 ，问 是第几象 限角？ 2.若θ在第四象限，试判sin(cosθ)cos(sinθ)的符号 是第二象限角 故原式为正号 课堂 练习 3 .若lg(sintan)有意义，则是（ ） A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴 C 4. 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos0,则a的取值范围是 。-2