新课标人教版
《高中数学》
必修4
教学目标
• 1.理解任意角的概念；
• 2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，
掌握终边相同角的集合的书写。
• 3.教学重、难点：
• 判断已知角所在象限；
• 终边相同的角的书写。
1.1.1《任意角》
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
第一章 三角函数
问题提出
1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量
其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？
2.体操是力与美的结合，也充满了角的概念．
2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第
36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子
后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊
四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角
的概念.
3.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在
实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样
滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体
10800”、“转体12600”这样的解说．再如钟
表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，
它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0°
～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围
内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推
广.
知识探究（一）：角的概念的推广
思考：对于角的图形特点有如下两种认识：
①角是由平面内一点引出的两条射线所组成
的图形（如图1）；
②角是由平面内一条射线绕其端点从一个位
置旋转到另一个位置所组成的图形（如图
2）.
图2图1
AO
B
α
始边
终边
顶点
思考：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反
方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既
可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.
你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600
所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角
是否相等？
2、规定：为了区分形成角的两种不同的旋转方
向，我作如下规定.
3、画图表示一个大小一定的角：
①先画一条射线作为角的始边，
②再由角的正负确定角的旋转方向，
③再由角的绝对值大小确定角的旋转量，
画出角的终边，并用带箭头的
螺旋线加以标注.
B2
γ
β
A
B1
O
思考：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小
时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准
？ －120°，450°.
思考：任意两个角的数量大小可以相加、相减，
如 50°＋80°=130°， 50°－80°=－30°，
你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
以50°角的终边为始边，逆时针（或
顺时针）旋转80°所成的角.
思考：一个角的始边与终边可以重合吗？如
果可以，这样的角的大小有什么特点？
k·360°（k∈Z）
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直
角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角
的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，
角的终边可能落在哪些位置？
xo
y可能落在x轴的非负半
轴，第一象限、、、
4、规定：如果角的终边在第几象限，我们就说这
个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，
就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线
角.
那么下列各角：-50°，405°，210°, -200°，
－450°分别是第几象限的角？
－50°
x
y
o
x
y
o
210° －450°
x
y
o
405°
x
y
o
－200°
x
y
o
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？
钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线
角是什么逻辑关系？
思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗
？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不
能反映角的大小.
思考5：在直角坐标系中，135°角的终边
在什么位置？终边在该位置的角一定是
135°吗？
x
y
o
知识探究（三）：终边相同的角
思考1：－32°，328°，－392°是第几象
限的角？这些角有什么内在联系？
－32°
－392°
x
y
o
328°
思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？
这些角与－32°角在数量上相差多少？
思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－
32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表
示集合S吗？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α
与整数个周角的和.
5、定义：一般地，所有与角α终边相同的角，
连同角α在内所构成的集合S可以表示为：
x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ；
x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ；
y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.
7、第一、二、三、四象限的角的集合
分别表示：
第一象限：
S={α | k·360°
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