九年级数学下册第二十七章相似27-2相似三角形课件（新人教版）

第二十七章 相似 27.2 相似三角形 情境引入 你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分， 使得这两部分的比是2:3？ 将 向下平移到如图的位置，直线m,n与 的交点分别为 ， ，问题2中的结论还成立吗？计算试一试.如果将 平移到其他位置呢？ a b c A B C D E F 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 3 4 x 7 已知两条直线被三条平行线所截，截得的线段长度 如图，你能求出x的值吗? 解：由已知条件可得： 如图4-8，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3， B1，B2，B3 .过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于 点C2，C3.图4-9中有哪些成比例线段？ 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的 对应线段成比例. A B C D E ∵DE∥A B 例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC. （1）如果AE = 7, FC = 4 ，那么AF的长是多少？ （2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？ A B C E F 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两 部分，使这两部分之比是2:3? AA BB CC EE DD FF 相似三角形的相关概念 三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫 做相似三角形(similar trianglec). 相似三角形的各对应角相等,各对应边成比例. 相似比等于1的两个三角形全等. 注意： 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正 确解答的前提和关键. 判定三角形相似的方法 判定两个三角形相似的方法: 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 类比三角形全等的判定方法: 边角边(SAS)；角边角(ASA)；角角边(AAS)；边边边 (SSS)；斜边直角边(HL). 你还能得出判定三角形相似的其他方法吗? 相似与全等类比—新化旧 由角边角(ASA)、角角边(AAS)可知,有两个角对应相等的 两个三角形相似； 由边边边(SSS)可知:有三边对应成比例的两个三角形相似； 由边角边(SAS)可猜想: 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似； 由斜边直角边(HL)可猜想: 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 我们已经把前两个猜想变为现实,剩余的还有问题吗？ 问题三: 如果△ABC与△A′B′C′有一个 角相等,且两边对应成比例,那 么它们一定相似吗? (1)如果这个角是这两边的夹角, 那么它们一定相似吗? 我们一起来动手: 画 △ABC与 △A′B′C′使 ∠A=∠A′, • 设法比较∠B 与∠B′的大 小,∠C与∠C′的大小. • △ABC与△A′B′C′相似吗 ?说说你的理由. • 改变k值的大小(如1∶3),再 试一试. • 通过上面的活动,你猜出了 什么结论? 判定三角形相似的方法 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在△ ABC与△A′B′C′中,如果 那么△ ABC∽△A′B′C′. (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似) C BA A ′ B ′ C′ 这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使用频率 不是很高,务必引起重视. 且∠A=∠A′, 图中的△ABC∽△A′B′C′,你 还能用其他方法来说明 其正确性吗? 且∠A=∠A′=45o, ∴△ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形相似) . C BA A ′ B ′ C′ 解法2: 如图,设小正 方形的边长为1,由勾 股定理可得: 问题四:在Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′中, ∠C= ∠C′=900,如果有一直角边和斜 边对应成比例,那么它们一定相似 吗? 我们一起来动手: 画△ ABC与△ A′B′C′,使 设法比较∠B 与∠B′的大小 ,∠A与∠A′的大小. Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′相似吗 ?说说你的理由. 改变k值的大小(如1∶3),再试 一试. 通过上面的活动,你猜出了 什么结论? 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 如图,在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,如果 那么△ABC∽△A′B′C′ (斜边直角边对应成比例的两 个直角三角形相似). C B AA′ B′C′ 这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必 引起重视. 我们重新来看问题三: 如果△ABC与△DEF有一个角相 等,且两边对应成比例,那么 它们一定相似吗? (2)如果这个角是这两边中一 条边的对角,那么它们一定相 似吗? 小明和小颖分别画出了下面的 △ABC与△DEF: 通过上面的活动,你猜出了 什么结论? 两边对应成比例,且其中一 边的对角对应相等的两个 三角形不一定相似. A B C 500 3.2cm 4cm 2cm D F E500 1.6cm 判定三角形相似的常用方法: 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的各对应角相等,各对应边成比例. 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对 应周长的比都等于相似比. 如图: 在△ ABC和△ DEF中 ，如果∠A=∠D, ∠B=∠E, 那么△ ABC∽ △DEF. A BC D EF 那么△ ABC∽ △DEF. 且∠A=∠D，那么△ ABC∽ △DEF. 通过本节课的学习,你有什么收获和体会？你 还有什么困惑？ ? 本 课 小 结 27.2.2 相似三角形的性质 一、新课引入 思考：三角形中各种各样的几何量，例如三条边的长度， 三个内角的大小，高、中线、角平分线的长度以及周长、 面积等，如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之 间又有什么关系呢？ 1 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似 比，面积的比等于相似比的平方 能用三角形的性质解决简单的问题 2 3 二、学习目标 相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比 三、探究新知 知识点一 相似三角形的周长比 1、如图，△ABC∽△A′B′C′，探究下列问题: (1)△ABC与△A′B′C′的对应边有什么关系？ (2)若 ,则 的比值是否等于 ,为什么？ 解:∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为 , ∴ ， ∴ ， ∴ 三、探究新知 归纳 相似三角形的周长的比等于______. 用类似的方法，还可以得出： 相似多边形的周长的比等于_______。 练一练 1、如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍， 那么它的周长也扩大为原来的____倍。 相似比 相似比 5 三、探究新知 2、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点， 且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC 的周长＝_______.1︰3 三、探究新知 知识点二 相似三角形对应高的比、面积的比 1、已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC与 △A′B′C′的高. （1）相似三角形的对应高的比与 相似比有什么关系? 写出推导过程. 相等 三、探究新知 解:(1)∵△ABC∽△A′B′C′， ∴ ，∠B=∠ B′. 又∵AD⊥BC ， A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB=∠ A′D′B′=90°， ∴△ABD∽△A′B′D′， ∴ . 结论: 相似三角形对应高的比等于_____.相似比 （2）相似三角形对应边上的中线， 对应角的平分线 的比值与相似比有什么关系？ 结论: 相似三角形对应边上的中线，对应角的平分 线的比等于______. (3)若 = ，则 的比值与 有什么 关系？ 结论: 相似三角形的面积的比等于___________. 相等 相似比 相似比的平方 用类似的方法，可以把两个相似多边形分成若干对相 似三角形，因此可以得出：相似多边形的面积的比等 于___________. 2、如图，在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是12，求ΔDEF的 周长和面积. 相似比的平方 E F DA B C 解：∵AB=2DE，AC=2DF， ∴ . ∵∠A=∠D ， ∴ΔABC∽ΔDEF. 设ΔDEF的周长为x，面积为y. 又∵ΔABC的周长是24，面积是12， ∴ ， ， ∴ x=12，y=3， ∴ΔDEF的周长是12，面积是3. E F DA B C 1、两个相似三角形对应高的长分别是6cm和18cm， 若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小 三角形的周长为____cm，面积为____cm2. 2、在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， 已知△ADE和△EFC的面积分别为4 和9，求△ABC的面积. 14 F 解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF， ∴ △ADE∽△EFC . 而S△ADE=4，S△EFC=9， ∴ ， ， ∴ ， ∴S△ABC= . F 四、归纳小结 1、相似三角形周长、对应高、对应中线、 对应角平分线的比等于______. 2、相似三角形的面积的比等于 _ ________。 3、学习反思：____________________。 相似比 相似比的平方 五、强化训练 1、连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一 个小三角形与原三角形的周长比等于____，面积 比等于____. 2、如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么 它们的相似比为_______，周长的比为________. 3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由 原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多 少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？ 解：∵比例是6∶2 = 3∶1，   ∴这次复印的放缩比例是300%. 又∵面积比是9∶1， ∴这个多边形的面积扩大到原来的9倍. 4、如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2， 这两个三角形相似吗？如果相似， 求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比. 解：相似（△A1B1C1∽△A2B2C2 ） ∵ ， ∴ . 教学目标 1.会应用相似三角形的性质和判定解决实际问题． 2.利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度 的问题，让学生体会数学转化思想. 重点：运用相似三角形解决实际问题. 难点：在实际问题中建立数学模型. 27.2.3 相似三角形应用举例 新课引入 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两 端，小张想测量出A，B 间的距离，但由 于受条件限制无法直接测量，你能帮他想 出一个可行的测量办法吗？ 测量办法：在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B 两点，连接并延长AC，BC，在AC的延长线上取一点D， 在BC的延长线上取一点E，使 （k为正整 数）.测量出 DE的长度. 然后根据相似三角形的有关知识求出A，B两点间的距离. C D E 如果 ，且测得DE的长为50 m，则A，B两 点间的距离为多少？ ∵ ，∠ACB =∠DCE， ∴ △ABC∽△DEC． ∴ ． ∵ DE = 50 m ， ∴ AB = 2DE = 100 m. C D E 例题探究 O A B A′ B′ 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、准星（A）、靶 心点（B）在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微 的抖动，致使准星A偏离到A′，如图.已知OA=0.2m， OB=50m，AA′=0.0005m，求李明射击到的点B′偏离靶心 点B的长度BB′（近似地认为AA′∥BB′）. 解：∵ AA′∥BB′， ∴ △OAA′∽△OBB′． ∴ ． ∵ OA=0.2m，OB=50m， AA′=0.000 5m， ∴ BB′=0.125m. 答：李明射击到的点 B′ 偏离靶心点 B 的长度BB′为 0.125m. 课堂练习 1. 如图，某路口栏杆的短臂长为1 m，长臂长为6 m. 当 短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高多少米？ A B O C D 2.如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树 的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水 平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直 角边DE= 80 cm， EF=40 cm，测得AC=1.5 m，CD=8 m ，求树高AB． 课堂小结 相似三角形的应用主要有两个方面： 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 1.测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 2.测距（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一 时刻物高与影长成比例”的原理解决.