九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28-2解直角三角形及其应用课件（新人教版）

第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 导入新课 复习引入 A C B c b a(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____， tanA=_____. 问题 如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边， 三个角）， 其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎 样的关系呢？ c2 90° 讲授新课 已知两边解直角三角形一 如图，在Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ A B Cα 6 =75° 互动探究 如图，在Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ A B C α 6 2.4 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个 锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可 以求出其余的3个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程， 叫作解直角三角形. 已知一边及一锐角解直角三角形二 典例精析 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°， b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位). A B C b=20c a 35° 解： 例3 如图，已知AC=4，求AB和BC的长． 解析：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义， 在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD 的长，从而得解． 在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°， D 解：如图，作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中，∵∠A=30°， ∴∠ACD=90°-∠A=60°， ∴BD=CD=2， 已知一锐角三角函数值解直角三角形三 例4 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ， BC = 5， 试求AB的长. 解： AC B 设 ∴AB的长为 在解直角三角形中，已知 一边与一锐角三角函数值， 一般可结合方程思想求解. 练一练 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则 AB=（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 D 2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝ ， 则菱形的周长是（  ） A．10 B．20 C．40 D．28 C 图②当△ABC为锐角三角形时，如图②， BC=BD+CD=12+5=17. 图① 解：∵cos∠B= ，∴∠B=45°. 当△ABC为钝角三角形时，如图①， ∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5， ∴BC=BD-CD=12-5=7. ∴BC的长为7或17. 当三角形的形状不确定时， 一定要注意分类讨论. 例5 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求BC的长. 当堂练习 2.如图，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3， cosB= ，则AC的长为（  ） A．3 B．3.75 C．4.8 D．5 B 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8，则BC的长是（  ） D 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分 线 ，解这个直角三角形. D A BC 6 解： 因为AD平分∠BAC ， 4.在Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形. （1）a = 30 , b = 20 ； 解：根据勾股定理得 A B Cb=20 a=30c 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形. (2) ∠B＝72°，c = 14. A B C b a c=14 解： 5.如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC. D A B C 解：过点 A 作 AD⊥BC 于D. 在△ACD中，∠C=45°，AC=2， ∴CD=AD=sinC·AC=2sin 45°= . 在△ABD 中，∠B=30°， ∴BD= ∴BC=CD+BD= 解直角三 角形 依据 解法:只要知道五个元素中的两个 元素（至少有一个是边），就可 以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 28.2.2 应用举例 ——什么是仰角、俯角？如何将实际问题转化为解直 角三角形的问题？ ——什么是坡度、坡比？ ——如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？ 在进行测量时，从下 向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与 水平线的夹角叫做俯角. 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明 斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡 面的坡度(或坡比)，记作i，即 . 坡度通常写成1:m的形式，如 i＝1:6．坡面与水平面的 夹角叫做坡角，记作α，有 显然，坡度越大，坡角α就 越大，坡面就越陡． ＝ tan α． 1、学生探究：在RtΔABC中，若∠C =90°， 问题1：两锐角∠A、 ∠B有什么关系？ 问题2：三边a、b、c的关系如何？ 问题3： ∠A与边的关系是什么？ 2、数学知识、数学运用 解直角三角形有下面两种情况： （1）已知两条边求直角三角形中的其他元素； （2）已知一边及一角求直角三角形中的其他元素. 例1 如图，一 棵大树在一次强烈的地震中于离地面 5米 处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高 多少？ 解：利用勾股定理可以求出折断后 倒下部分的长度为 13+5=18 （米） 答：大树在折断之前高为18米. 5m 12m 例2 如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现 入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东400的方向，炮台 B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确 到1米） A D C B 400 2000 例3 如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处， 用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角 α=52°.求旗杆BC 的高. 解：在Rt△CDE中， CE=DE×tanα=AB×tanα=10×t an52°≈12.80. BC=BE+CE=DA+CE ≈1.50+12.80=14.3. 答：旗杆BC的高度约为14.3米. 1.(1) 如图，一辆消防车的梯子长为18 m，与水平面间 的 夹角为60°，如果这辆消防车的高度为2 m，求梯子可达到 的高度．AC=100 m (2) 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座 小山，已知山脚和山顶的水平距离为100米，山高为100米， 如果这辆坦克能够爬30°的斜坡，试问：它能不能通过这 座小山？ A C 100 米 100 米 B 2.（1）某货船沿正北方向航行，在点A处测得灯塔C在北偏西 30°，船以每小时20海里的速度航行2小时，到达点B后，测 得灯塔C在北偏西60°方向，请问当这艘货船到达C的正东方 向时，船距灯塔C有多远？ （2）如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆， 测量人员，在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、 45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A地高200米， 电缆BC至少长多少米？ 3.(1)植树节，某班同学决定去坡度为1︰2的山坡上种树，要 求株距（相邻两树间的水平距离）是6 m，则斜坡上相邻两树 间的坡面距离为 . （2）某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 m，则此人的垂直 高度增加了________m . 小结 解直角三角形有下面两种情况： (1) 已知两条边求直角三角形中的其他元素. (2) 已知一边及一角求直角三角形中的其他元素. (3)理解仰角、俯角的概念，能将实际问题转化为解直角 三角形问题. (4)知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识， 解决与坡度、坡角有关的实际问题。