2.3.1平面向量基本定理
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
一般地,实数 与向量 的积是一个向量,记作:
(1)
(2)当 时, 的方向与 的方向相同
;
当 时, 的方向与 的方向相同;
(3)当 时,或 时,
一、数乘的定义:
它的长度和方向规定如下:
二、数乘的运算律:
(2)第一分配律:
(1)结合律:
(3)第二分配律:
1. 定理:向量 与非零向量 共线的充要条件是有
且只有一个实数 ,使得.
三、向量共线的充要条件:
2).2).证明证明 三点共线三点共线::
直线直线ABAB∥∥直线直线CDCDAB=λCD ABAB=λCD AB∥∥CDCD
利用向量共线定理,能方便地证明几何中的三点共线和两
直线平行问题.但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念
上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行
则含两向量重合.
2. 2. 定理的应用:定理的应用:
1).1).证明证明 向量共线向量共线
3).3).证明证明 两直线平行两直线平行::
ABAB与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上
又又BB为公共点为公共点 A,B,CA,B,C三点共线三点共线
AB AB ∥∥ BC BC AB=λBCAB=λBC
设 、 是同一平面内的两个不共
线的向量,a 是这一平面内的任一向量,
我们研究 a 与 、 之间的关系。
a
研究
OC = OM + ON = OA + OB
即 a = + .
a A
O
a
C
BN
MM
N
平面向量基本定理
一向量 a 有且只有一对实数 、 使
共线向量,那么对于这一平面内的任
如果 、 是同一平面内的两个不
a = +
示这一平面内所有向量的一组基底。
我们把不共线的向量 、 叫做表
(1)一组平面向量的基底有多少对?
(有无数对)
思考
E
FF
A
N B
a
M
O
C
N
M M
O
C
N
a
E
思考
(2)若基底选取不同,则表示同一
向量的实数 、 是否相同?
(可以不同,也可以相同)
O
CF M
N
a
EE
A B
NOC = 2OB + ON
OC = 2OA + OE
OC = OF + OE
(1)不共线的向量 叫做这一平面内所有向量
的一组基底;
平面向量基本定理:
(4)基底给定时,分解形式唯一.
(2)基底不唯一;
如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么
对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 ,
使
(3) 任一向量 都可以沿两个不共线的方向( 的
方向)分解成两个向量( )和的形式;
说明:
向量的夹角
两个非零向量 和 ,作 ,
与 反向
O AB
O A
B
则 叫做向量 和 的夹角
记作
与 垂直,
O A
B
注意:在两向量的夹角
定义中,两向量必须是
同起点的
与 同向
O AB
例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 .
于是OC就是所求作的向量.
(2)作 OACB.
e1
e2
O
C
作法:(1)任取一点o,
作OA=-2.5e1,OB=3e2
-2.5e1A
B
3e2
向量的正交分解
在平面上,如果选取互相垂直的向量作
为基底时,会为我们研究问题带来方便
平面向量的坐标表示
O x
y
平面内的任一向量 ,
有且只有一对实数x,y,使 成立
则称(x,y)是向量 的坐标
如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向
同向的两个单位向量 作基底.
记作:
(1)与 相等的向量的坐标均为(x, y)
注意:
(4)如图以原点O为起点作 ,点A的位置
被 唯一确定.
O x
y
平面向量的坐标表示
(x, y)A
此时点A的坐标即为 的坐标
(5)区别点的坐标和向量坐标
相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
(1)与 相等的向量的坐标均为(x, y)
注意:
(3)两个向量
相等的充要条件:
(6)
例1.如图,用基底 , 分别表示向量
并求它们的坐标.
解:由图可知
同理,
平面向量的坐标表示
A1A
A2
y
xO 1
课后作业:
作业本
小结回顾
一、对一、对 平面向量基本定理平面向量基本定理 的理解:的理解:
ee1 1 ,,ee22是平面向量内两个不共线的固定向量,则任是平面向量内两个不共线的固定向量,则任
意向量意向量aa可以在这两个向量的方向上进行分解。可以在这两个向量的方向上进行分解。
当当||ee11|=||=|ee22|=1|=1且且ee11与与ee22垂直时,就可以建立直角坐标垂直时,就可以建立直角坐标
系,这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。系,这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。
二、两类问题:
1.用一组基底表示任一向量
2.由一组基底的线性组合求作向量
作业:习题作业:习题5.3 P110---6,75.3 P110---6,7
O
问问::能否作出向量能否作出向量 使使 成立?成立?
这样的这样的 有几个?有几个?
已知向量已知向量 ((如图如图),),
及实数及实数λλ11=-2.5=-2.5,,λλ22=3 =3
已知向量已知向量
及向量及向量 (如图)(如图)
问问::能否找出实数对能否找出实数对λλ11与与λλ22
使使 成立?成立?
而这样的而这样的λλ11与与λλ22有多少对?有多少对?
O