九年级数学下册第27章圆27-3圆中的计算问题课件（华东师大版）

第27章 圆 27.3 圆中的计算问题 第1课时 弧长和 扇形的面积 解:∵圆心角900 ∴铁轨长度是圆周长的 则铁轨长是 如图，是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半 径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的 长度吗? 问题情景 问题探究 上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆心 角为n0，如何计算它所对的弧长呢？ 思考： 请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、900、 450、n0所对的弧长. 1800 900 450 n0 圆心角占整个周角的 所对的弧长是 结论 如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那 么，弧长的计算公式为： 练一练： 已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆 弧的长度. = cm 答：此圆弧的长度为 cm 解： 如果扇形面积为S，圆心角度数为n，圆半径是r， 那么 扇形面积计算公式为 结论 例题讲解 例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为 10厘米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14） ≈52.33(平方厘米) 扇形的周长为 ≈ 30.47（厘米） 解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为 一、弧长的计算公式 二、扇形面积计算公式 1、弧长计算公式 2、扇形面积计算公式 一、知识回顾 第2课时 圆锥的认识 1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它 的底面是一个圆,侧面是一个曲面. 2.连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母 线 3.连结顶点与底面圆心的线段 叫做圆锥的高 图中 a是圆锥的母线, h 就是圆锥的高 r 是底面圆的半径 问题：圆锥的母线有几条？ a h r A A2 A1 圆锥知识知多少 h r 母线 高 底面半径 底面 侧面 B O 探究新知探究新知 例如：已知一个圆锥的高为 6cm，半径为8cm，则这个圆锥 的母线长为_______10cm rO 4、圆锥的底面半径、高线、母线长 三者之间的关系: h a 圆锥可以看做是一个 直角三角形绕它的一条 直角边旋转一周所成的 图形． O A BC 填空: 根据下列条件求值（其中r、h、a 分别是圆锥 的底面半径、高线、母线长）。 (1) h =3, r=4 则 a =_______ (2) a = 2，r=1 则 h =_______ (3) a= 10, h = 8 则r =_______ 5 6 即时训练 如图，一只蚂蚁从底面圆周上一点B出发沿圆锥的 侧面爬行一周后回到点B，请你帮助它找到最短的 路线。 二、设置情境 B. A B C B’ 准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥 的侧面展开图．  R h rO 问题1: 1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得 到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什 么关系？ 探究新知 相等 母线 2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆 锥中的哪一条线段相等？ 问题2 ： 圆锥的侧面积和 全面积 R h rO 圆锥的侧面积 圆锥的侧面积=扇形的面积 n 公式一： 例1.一个圆锥形零件的高4cm，底面半径3cm，求这 个圆锥形零件的侧面积。 O P A Br h a 答:圆锥形零件的侧面积是 . 即时训练 （1）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面 积为_________. 2 (3）已知圆锥底面圆的半径为2cm,高为 ，则这个圆 锥的侧面积为_____. (2)已知圆锥的底面直径为20cm，母线长为12cm，则它 的侧面积为_________. n 圆锥的侧面积 公式二： 即时训练 填空、根据下列条件求值 . (1) a=2， r=1，则n =_______ (2) a=9, r=3，则n =_______ (3) n=90°,a=4，则r =_______ (4) n=60°,r= 3，则a =_______ n 180° 120° 1 18 圆锥的全面积 n 圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积. 思考：你能探究展开图中的圆心角n与r、R之 间的关系吗？ 当圆锥的轴截面是等边三角形时， 圆锥的侧面展开图是一个半圆 ）n R h rO 思考：如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂 蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再 回到点B,问它爬行的最短路线是多少? A B C 6 1 B’ 解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n° ∴ △ABB’是等边三角形 答:蚂蚁爬行的最短路线为6. 解得: n=60 连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线 ∴ BB’=AB=6 五、小结升华 1、本节课所学：“一个图形、三个关系、两 个公式”，理解关系，牢记公式； 2、立体图形的处理方式--转化为平面几何图形 圆锥与侧面展开图之间的主要关系： 1、圆锥的母线长=扇形的半径 2、圆锥的底面周长=扇形的弧长 3、圆锥的侧面积=扇形的面积 （a = R） （C = l） n 5 问题：已知老师手中的圆锥底面圆的半径为5cm， 母线长为15cm，请你帮老师算算需要多少cm2的材 料做这个模型. 15 1、根据圆锥的下列条件，求它的侧面积和全面积. （2） h=12cm， r=5cm （1） r=12cm, a=20cm 2、若一个圆锥的底面半径长和母 线长是方程 的两 个根，则该圆锥的侧面展开图的 面积是____。 3.圆锥的底面直径为80cm,母线长为90cm, 求它侧面展开图的圆心角的度数. 4. 扇形的半径为3cm,圆心角为120°，用它做一个 圆锥模型的侧面,求这个圆锥轴截面的面积. 例 蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成,如 果想用毛毡搭建20个底面积为35m2,高为 3.5m,外围高2m的蒙古包，至少需要用多少m2 的毛毡 (结果取整数) ? 2m2m 3.5m3.5m 35m2 AA BBCC DD EE 能力提升 1 .圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥 侧面展开图扇形的圆心角是_______。 2.圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开 图扇形的圆心角是 ____ 。 3 .一个扇形的半径为30cm，圆心角为120度，用它做成 一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ 。 4.圆锥的底面半径为10cm，母线长40cm，底面圆周上的 蚂蚁绕侧面一周的最短的长度是_______。 180o 10cm 180o 1.圆锥形的烟囱帽的底面直径 是8dm, 母线长5dm.制作100个 这样的烟囱帽至少需要多少平 方分米的铁皮？ 2.已知：在RtΔABC中，∠C=90°， AB=13cm, BC=5cm. CD⊥AB于点 D.求以AB为轴旋转一周所得到的几 何体的全面积. 3.已知圆锥底面半径 为10cm，母线长为40cm。 (1)求它的侧面展开图的圆 心角和全面积；(2)若一甲 虫从圆锥底面圆上一点A 出发，沿着圆锥侧面绕行到 母线AB的中点C，它所走的 最短路程是多少？ OO AA BB 40 BB CC 5.圆锥的侧面积和全面积 1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得 到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么 关系？ 2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆 锥中的哪一条线段相等？ 探究 圆锥的侧面积和全(表）面积探究 n rap= ☆归纳 1、圆锥的侧面展开图是一个扇形。 2、扇形的半径——圆锥的母线 3、扇形的弧长——圆锥的底面圆周长 4、设圆锥的母线长为a,底面圆半径为r， S 侧 =πra (r表示圆锥底面的半径, a 表示圆锥的母线 长 ) 母线a 例1.童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子,其 圆锥形帽身的母线长为15cm,底面半 径为5cm,生产这种帽身10000个,你 能帮玩具厂算一算至少需多少平方 米的材料吗(不计接缝用料和余料)? 解:∵ a =15cm,r=5cm, ∴S 圆锥侧 = πra ∴ 75 π×10000=750000π(cm2) 答:至少需 750000π平方米的材料. =75 π =π×15×5 r a 题型一：直接套用公式求侧面积 50 30 根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心角 n （r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母 线长） a = 4，r = 3 则 n =________ 题型二：求侧面展开图的圆心角的度数 你能探究展开图中的圆心角n与 r 、 a 之间的关系吗？ n 探究新知 因为扇形的弧长等于底面圆的周长 所以 所以360r= na 所以 n= 拓展提高 •如图，一个直角三角形两直角边分 别为12cm和5cm，以它的一直角边 为轴旋转一周得到一个几何体，求 这个几何体的表面积。 变式：已知：在RtΔABC中, 求以AB为轴旋转一周所得到的几 何体的全面积。 B C A D ☆当堂训练（（看谁做得又快又好看谁做得又快又好）） 3.已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65c㎡， 扇形的弧长为10㎝，则圆锥的母线长是_____ 2.已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm ，则这个圆锥的侧面积为_____，全面积是____ 1.已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则这个 圆锥的高为_______ 如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁 要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一 圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少? A B C 6 1 B’ 变式：如图，圆锥的底面半径为1，母线长 为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发， 沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母 线AC上，问它爬行的最短路线是多少？ A B C