人教版高中数学必修2 直线 平面垂直的判定及其性质小结课件PPT

空间点、直线、平面之间 的位置关系 图形 符号语言 文字语言(读法 ) 点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 点、线、面的基本位置关系 （1）符号表示： （2）集合关系： 线 、点 、 面 直线 交于点 图形 符号语言 文字语言(读法) 平面 与 相交于直线 直线 在平面 内 直线 与平面 无公共点 直线与 平面 交于点    返回 平面几何中的“∥”“⊥”在空间中仍适用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那 么这条直线在此平面内. 公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. “不共线的三点确定一个平面” 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ． ． ．A B C ． ．A B α P 判断线面位置 判断面面位置（相交或平行） 确定平面依据 不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。 没有 只有一个 没有 共面 不共面 共面平行 相交 异面 位置关系 公共点个数 是否共面 异面直线的定义 异面直线的画法 说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托. 如图： a a b a A b b (1) (3)(2) a与b是相交直线 a与b是平行直线a与b是异面直线 a bM 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ a ba b 思考 异面直线的判定方法： (1)定义法：由定义判定两直线不可能在 同一平面内. (2)判定定理：过平面外一点与平面内一点 的直线，和平面内不经过该点的直线是异 面直线 已知： 直线AB和a是异面直线a A B · 按是否在 同一平面内分 同在一个平面内 相交直线 平行直线 不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 按公共点个数分 相交直线 无公共点 平行直线 异面直线 空间直线与直线之间的位置关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 注： 1.直线a，b，c 两两平行，可记为a // b // c . 2.公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性. 3.证明空间两直线平行 的方法： (1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证 两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法 平行公理 A B C A1 B1 C1 等角定理1:如果一个角的两边和另一 个角的两边分别对应平行,那么这两 个角相等或互补. D D1 E E1 推论:如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行且方向相同，那么这两个角相等. 等角定理 等角定理 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补。 问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？ 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O， 过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, a b P a′ b′ O ￿则这两条线所成 的锐角θ（或直角）， θ ￿称为异面直线a，b所成的角. ？ 任选 Oa′ 若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 平 移 两条异面直线所成的角 注1:异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上. α a b O a’ 注2:异面直线所成角的取值范围： 注3:求异面直线所所成角的步骤： 一作、二证、三求解 a α a1 b1 O 分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的 锐角（直角）叫做两异面直线所成的角 为了简便，在求作异面直线所成的角时 ,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段 的端点,线段的中点等) b a α O θ A B D C A1 B1 D1 C1 例1在正方体AC1中，求异面直线 A1B和B1C所成的角？ A1B和B1C所 成的角为60° A B G F H E D C 例2 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？ 解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角， 又  BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45oo O 连接HA、AF， 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30o (2)连接FH， 所以FO与BD所成的夹角是30o ∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角 ∵HD EA，EA FB ∴HD FB∥ = ∥ = ∥ = 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ 例3如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?解答： (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45o (2) ∵BF∥AE ∴∠FBG（或其补角）为所求, Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o A B G F H E D C2 例4如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= a，求AB1与BC1所成的角的余弦值. C BA D A1 B1 C1D1 a a 三点共线的证明 如图所示，平面ABD∩平面BCD＝直线BD，M、N、 P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边 形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形． 求证：三直线BD、MQ、NP共点． 共点、共线和共面问题 分析 先证两直线交于一点，再证该点在第三条直线上． 证明 ∵四边形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰， ∴直线MQ、NP必相交于某一点O. ∵O∈直线MQ，直线MQ⊂平面ABD，∴O∈平面 ABD. 同理，O∈平面BCD， 又∵平面ABD∩平面BCD＝直线BD， ∴O∈直线BD，从而三直线BD、MQ、NP共点． 规律总结 由已知条件，直线MQ、NP必相交于一点 O，因此，问题转化为求证点O在直线BD上．由公理3， 就是要寻找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线， 同时点O是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及 “三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上 ”的问题．