九年级数学下册第2章圆2-2圆心角、圆周角课件（湘教版）

第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 本节内容 2.2.1 1、圆的概念是什么 ？ 2、圆的对称性： C · O A B 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧. 如图圆O上两点A，B间的小于半圆的部分 叫作劣弧， 用符号“⌒”表示. 记作：AB A，B间的大于半圆的部分叫作优弧， 记作：AMB 其中M是圆上一点。 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 · O A B 如图，∠AOB是怎样构成的？ ∠AOB叫作AB所对的圆心角. AB叫作圆心角∠AOB所对的弧． 两条半径所形成的角叫圆心角。 在生活中，我们常遇到圆心角， 如飞靶中有圆心角，还有手表中的 时针与分针所成的角也是圆心角． 下面所示的角，哪个是圆心角？ · A · B · C · D 概念学习 圆心角、弦、弧的关系 1、实验操作： 在两张透明的纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'， 在⊙O和⊙O'中，作圆心角∠AOB和∠A'O'B'， 连接AB和A'B',将两张纸重叠， 使⊙O和⊙O'重合。 当∠AOB=∠A'O'B'时，弦AB A'B'， 2、探究思考： ·O A B ·O' A' B' AB A'B'= = 3、在同一圆中，∠AOB=∠COD 由旋转不变性得：AB=CD， AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD 结论： 在同圆或等圆中，如果圆心角相等， 那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等. ·O CB D A ·O C B A D 在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的 圆心角相等吗？所对的弧相等吗？你能讲出道理吗？ 在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它 们所对的圆心角相等吗？所对的弦也相等吗 ？你能讲出道理吗？ ∠AOB=∠CODAB=CD AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CDAB=CD 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。 nº的圆心角对着nº的弧， nº的弧对着nº的圆心角。 圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 2、已知⊙O的半径是5 cm，弦AB长是5 cm，则圆心角 ∠AOB= .60º 3、在∆ABC中，∠ACB=90º，以C为圆心，CA为半径 的圆交AB于D，且AD=70º，则∠B= .35º 例1、如图在∆ABC中，∠C=90º，∠B=28º， 以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D， 交BC于E，求AD，DE的度数。 解：连结CD,∠A=90º-28º=62º ∠ACD=180º-62º×2=56º ∠ECD=34º ∴AD=56º，DE=34º · E D C B A 4、如图，AB是⊙O的直径，D，C是AB的三等分点， 连结AD、DC、CB,求∠DCB的大小。 提示：证明∆AOD、∆DOC、∆COB是 等边三角形，∠DCB=120º 5、如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径， BE是⊙O的一条弦，点C是AE的中点， 且BE= BD，求∠AOD的度数。 7 4 ∠EOB=40º，∠AOC=∠COE=∠DOB=70º ∠AOD=110º · CD BA O · E D C BA O 6、如图，已知CD是⊙O直径，圆心角∠AOB=30º， 弦CA//OB，求∠BOD的度数。 7、如图，AB是⊙O直径，AC=CD，∠COD=60º， （1）求证：∆AOC是等边三角形。 （2）求证：OC//BD · C D BA O ·C D B A O 由CA//OB，∠AOB=30º， 得∠CAO=∠ACO=30º ∴∠AOC=120º∴∠AOD=60º ∴∠BOD=30º （1）仿第4题得证 （2）∆AOC≌∆BOD ∴∠AOC=∠DBO=60º ∴OC//BD 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。 3.圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 练 习 巩 固： • 练习第1、2题 作 业 布 置： 习题2.2第1、2题 本节内容 2.2.2 3、如图，已知∠BOC=80°， ①求AB弧的度数； ②延长BO交⊙O于点A，连结AC，求∠C的度数。 80° 40° 1.圆心角的定义? 顶点在圆心的角叫圆心角. O B C · 2.圆心角、弧、弦三个量之间关系 在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦有 一组量相等，那么它们所对应的其余两个 量都分别相等。 O B C · A 圆心角的顶点发生变化时,我们得到几种情况: O B C · O B C · A A A 圆周角 回忆 你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗? O B C · A 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 判别下列各图形中的角是不是圆周角，为什么？ ·O ·O ·O ·O ·O 不是不是 不是不是 是 指出图中的圆周角。 · A B C D E O A 圆周角性质定理： 1、画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角. 2、一条弧所对的圆周角有多少个?圆心角呢 ? 一条弧所对的圆周角有无数个。 圆心角只有一个。 O B C · A A A 圆周角与同弧所对的圆心角有什么关系？ 结论:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角的度数就等于所对弧度数的一半。 1、如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=______。 2、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆 上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________ 3、在圆O中，一条弧所对的圆心角 和圆周角分别为(2x+100)0和(5x-30)0 ，则这条弧的度数为____ 4、如图，已知∠ACB=20°， 则∠AOB= ，∠OAB= 。 ·O A B C 40° 70° 130° 25° 140° 5.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC. ·O C B A ∠BAC= 0.5 ∠BOC ∠AOC=2∠BOC ∠ACB=2∠BAC 证明：∠ACB= 0.5∠AOB 6、已知，⊙O的弦AB长等于圆的半径，求该弦所对的圆心 角和圆周角的度数。 ·O C BA ∠AOB=60° ∠ACB=30° D ∠ADB=150° 7、如图，在⊙O中，AB是直径， 半径CO⊥AB, D是CO的中点， DE // AB，求∠ABE的度数. ·A B E O D C ∠ABE=15° 8、AB、AC为⊙O的两条弦，延长 CA到D，使AD=AB，如果 ∠ADB=35°，求∠BOC的度数。 ·O D C B A 9、如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠ BOC=84°，求∠ A的度数。 ⌒ ⌒ ·O D C B A E ∠A=21° ∠BOC=140° 1、圆周角的定义。 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 2、圆周角定理及其定理应用。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了 “特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。 本节内容 2.2.2 1、圆周角的定义。 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 2、圆周角定理及其定理应用。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 1.如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则 ∠BOC=________。64º 130º A O C B A O C B 2、如图，⊙O中，∠ACB = 115º， 则∠AOB=______。 问题1、如图，在⊙O中,∠B、∠D、∠E的 大小有什么关系?为什么? B A C D E O∠B= ∠AOC2 1 ∠B=∠D=∠E 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，相等的圆周角所对的弧也相等。 ∠D= ∠AOC2 1 ∠E= ∠AOC2 1 问题2、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， 你能确定∠BAC的度数吗? · O A CB ∠BOC=180º 2 1∠BAC= ∠BOC=90º 问题3、如图，圆周角∠BAC =90º， 弦BC经过圆心O吗？为什么？ 直径（或半圆）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。 1、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形的对角 线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ · D CB A 8 563 2 4 71∠2=∠7 ∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8 2、如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm， ∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD 的长． ·O D C BA ∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90° 在Rt△ABC中，由勾股定理BC=8cm ∵CD平分∠ACB，∠ACD= ∠BCD ∴AD=BD= AB=5√2cm√2 2 3.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心 吗？你有多少种方法？与同学交流一下．  4、在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A. ·O D C B A ∠BAC=∠BDC ∠DAC=∠DBC ∠A=∠BAC+∠DAC =∠BDC+∠DBC =20°+30°=50° 5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆 交BC于D，交AC于E，求证：BD=DE⌒ ⌒ · A B C E D 证明：连结AD. ∵AB是圆的直径 ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC ∵AB=AC， ∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD， ⌒ ⌒∴ BD= DE （同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。 课外练习 1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、 BD分别交⊙O于E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小， 并说明理由。 ·O A B C D F E 连结CF， ∠BFC是△CDF的一个外角。 ∴∠BFC>∠BDC， 又∠BAC=∠BFC ∴∠BAC>∠BDC， 也可连结FC，证法相同 2、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E， 那么你能得到什么结论？ A B C D O E （1）AE = BE，AC = BC，AD = BD （2）AC = BC，∠CAB = ∠ABC = ∠ADC， ∠ACE =∠BCE =∠DAB （3）BC2 = AC2 = CE · CD，AD2 = DE · DC BE2 = AE2 = DE · CE 一、知识点： 圆周角 顶点在圆上 两边都和圆相交 圆周角性 质定理 一条弧所对的圆周角，等于该弧所对的圆心角的一半。 推论：1、在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧相等。 2、直径或半圆所对的圆周角是直角；90º的圆周角的 所对的弦是直径。 二、体现的数学思想： 由特殊到一般和分类讨论的思想。 三、方法思考： 1、证明题的思路寻找方法； 2、等积式的证明方法； 3、添辅助线的方法。