九年级数学下册第2章圆2-3垂径定理课件（湘教版）

第2章 圆 2.3 垂径定理（1） 1、什么叫轴对称图形？ 2、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径（过圆心的直线）。 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的 跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形 高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什 么？ CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 结论 AE=BE ⌒ ⌒AC=BC ⌒ ⌒AD=BD垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。 应用垂径定理的书写步骤 ∵ CD是直径,CD⊥AB, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. ·O A B C D E ·O A BC D └ M 是否符合垂径定理的条件，主要看两点：一是直径； 二是要与弦垂直。注意几个基本图形：(1)、(2)、(3)、(4) 在下列图形，符合垂径定理的条件吗？ E O A B D C (1) E O A B C (2) E O A B D (3) E O A B (4) E O A B DC (5) E O A B D C (6) E O A B D C (7) 例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 解：连结OA ∴AE= AB=42 1 ∵OE AB于E.┴ OE=3 由勾股定理得：∴OA=√ AE2+OE2 =5 圆心到弦的距离、半径、弦的一半构成直角 三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 E · A B O 37.4 7.2 D C BA O 18.7 R-7.2R 解决“赵州桥”问题： 如图，OA=OC=R， OD=OC-CD=R-7.2 AB=18.7AD2+OD2=OA2 即：18.72+(R-7.2)2=R2 R≈27.9(m) 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 3、已知：如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD. ·· A BC D O证明：过O点，作OE AB┴ E ∴AE=BE，CE=DE, AE-CE=BE-DE, ∴AC=BD 4、已知⊙O的半径为13cm，该圆的弦AB∥CD，且AB=10cm， CD=24cm，求弦AB和弦CD之间的距离。 O· A B C DE F 解：如图，过O作OF AB，交AB于F， 交CD于E， ┴ ∴AB∥CD ∴OE CD┴ 在Rt∆OCE中，OE=5cm 在Rt∆OAF中，OF=12cm ∴EF=OF-OE=7cm C DE 弦AB、CD在圆心两侧时，EF=OE+OF=17cm 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。2√3cm 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。8cm 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。2√3cm 4.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高 CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为     . 13cm E BA O E BA O E O A B 128 6、如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若 AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O的半 径等于 cm。 7、已知，M是⊙O内一点，已知过点M的 ⊙O最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm， 则OM=_____ cm. C 7 3 5、如图，AC⊥BO，AC=8cm，BA=5cm， 则⊙O的半径为 ，AC的弦心距为 。6 25cm 6 7 cm C D BA 9、求证：同圆中，两平行弦所夹得弧相等。 ·O DC BA 已知，AB,CD是⊙O的两条弦， 且AB∥CD，求证：AC=BD 8、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入 一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝ 600毫米，求油的最大深度。 · BA 请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。 2、从方法上学习了什么？ （1）垂径定理是圆中一个重要的结论,叙述语言要准确, 一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得 ③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 （2) 垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等 问题的方法，构造直角三角形 （3）解决有关弦的问题时，经常 ①连结半径； ②过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径 定理创造条件。 第2章 圆 2.3 垂径定理（2） 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 结论 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 条件 （1）过圆心 （2）垂直于弦 CD⊥AB, CD是直径, 条件 AM=BM, 结论 ⌒ ⌒AD =BD.⑤ ⌒ ⌒AC =BC,④ ●O A B C D └ M 探究一、AB是⊙O的一条弦（非直径），且AM=BM，过点M作 直径CD. 你发现图中有哪些等量关系?说说你的想法和理由. ②CD⊥AB,由 ① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ⌒ ⌒④AC=BC, ⌒ ⌒⑤AD=BD. ●O C D MA B ┗ ·ＯA B D C （E ） （不是直径） 连接OA,OB,则OA=OB. ∴△OAM≌△OBM. ∴∠AMO= ∠ BMO. ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称, ⌒ ⌒AC和BC重合, ⌒ ⌒AD和BD重合. ⌒ ⌒∴AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD, 平分弦 的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧． 推论1： 探究二：AB是⊙O的一条弦,且AM=BM。且CD⊥AB 于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？ 为什么？ ②CD⊥AB于M, ① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ⌒ ⌒④AC=BC, ⌒ ⌒⑤AD=BD. 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论2： 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 找到本质： ●O C M A B ┗ D 1、判断正误： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （2）平分弦的直线，必定过圆心。 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这条直线垂直这条弦。    · A B C DO (1) ·A B C D O (2) ·A B C D O (3) （4）弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。    ·A BC O (4) · A B C DO (5) ·A B C D O (6) E 2.已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC，圆心O到BC的距离为 3厘米，圆的半径为5厘米，求AB长。 D D · O CB A C ·O B A 3.如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E，BF⊥CD 于F，且圆O的半径为10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。 ·O G F E D C BA OD=3 OB=5 BD=4 AD=8 AB=4√5 AB=2√5 M 解：连结OC，过点O作OM⊥CD于M， 则CM=MD∵CD=16，CM=8， 在Rt△OMC中，因OC=10∴OM=6 ∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BF AE OM AG OG= BF OM BG OG= AE-BE OM AG-BG OG= = 2OG OG =2 AE-BF=2OM=12 4 . 如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽为7.2米，拱顶高出 水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？ NM BA O D C FE H r 如图，将问题转化为数学问题。 AB=7.2，CD=2.4 由垂径定理：AD=3.6 HN=1.5 设圆弧的半径OA为r，OD=r-2.4 在Rt△OAD中，由勾股定理，得: r≈3.9（m） 在Rt△ONH中，由勾股定理，得： OH=√ON2-NH2 =√3.92-1.52 =3.6 ∴ DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1>2 ∴此货船能顺利通过这座拱桥. 1、判断： (1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的 两条弧. （ ） (2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. （ ） (3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） (4)圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. (5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: . .  √ √  √ ·O D C B A N M E FAE=EB CF=FD ⌒ ⌒ CN=ND. ⌒ ⌒ AC=BD.⌒ ⌒ AM=BM. 3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ） A、2条 B、3条 C、4条 D、5条 ·O P BA D C C 4、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8, P为AB上的一个动点，那么OP长 的取值范围是 。3cm≤OP≤5cm 5、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E, OF⊥BP于F，EF= 。 · O BA PC 4 F · O BA E P 10 8 6、已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。 ·O BA E D E 7、如图所示,⊙O的直径长4cm， C是AB的中点，弦AB、CD交于点P， CD=2√3cm，求∠APC的度数。 ·O E BA C D P F 8、如图，CD为圆O的直径，弦AB交 CD于E，∠ CEB=30°，DE=9㎝， CE=3㎝，求弦AB的长。 ·O ED C B A F DE=2cm 8cm ∠APC=∠COF=60° 由条件：DC=12，OC=6，OE=OC-EC=3 ∠ CEB=30°=∠ FEO OF=1.5 2 3√15AF=√OA2-OF2 =√62-1.52 = 3√15AB=2AF= 9.如图,圆O与矩形ABCD交 于E、F、G、H,EF=10， HG=6，AH=4，求BE的长. ·O D CB A F H G E N M 10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦， C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证： △OCD为等腰三角形。 E ·O BA DC 11、已知：AB是⊙O直径，CD是弦， AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF DE ·O C B A F BE=2 M 作OE⊥CD，AE=BE ∵AC＝BD ∴CE=BE ∴△OCE≌△ODE. ∴OC=OD 作OM⊥CD，∵AE⊥CD，BF⊥CD ∴AE∥OM∥BF ∵OA=OB，∴EM=MF ∵CM=MD，∴EC=DF 1、垂径定理及推论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 2、垂径定理及其推论和勾股定理相结合，方程的思想 来解决问题。 · O dr h2 a 对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓 形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以 求出另外两个量，如图有： （1）r=d+h 2 a（2） r2=d 2+( )2