人教版高中数学必修22.3.1直线与平面垂直的判定ppt课件

2.3.1直线与平面垂直的 判定与性质 复习：直线与平面的位置关系有哪几种？ 线 面 位置关系 线在面内 线面平行 线面相交 斜交 垂直 实例引入 旗杆与底面垂直 大桥的桥柱与水面垂直 实例引入 实例引入 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．观 察旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系？ 实例感受 A α B B 1 C 1 C B 旗杆AB所在直线   与地面内任意一条过点B的直线垂直． 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直． 直线垂直于平面内的 任意一条直线． 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 ． 平面 的垂线 直线 l 的垂面 垂足 一、直线与平面垂直的定义 线面垂直的定义常这样使用 简记：线面垂直，则线线垂直 l ^a 如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保 证l⊥α吗？ 如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保 证l⊥α吗？ α b B A C 如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线，那么这 条直线是否与这个平面垂直？ B A C 如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线，那么这 条直线是否与这个平面垂直？ 不一定 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 过 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触） ． （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面 垂直． 直线与平面垂直 B D A C 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 过 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触） 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在 直线与桌面所在平面 垂直． 直线与平面垂直 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 即：m  α n  α m ∩ n = B l ⊥ m l ⊥ n l ⊥α  Am n B 简记：线线垂直，则线面垂直 关键：线不在多，贵在相交 二、线面垂直的判定定理 巩固练习 判断下列命题是否正确,正确的在( )内打“√”错的 打“×” （4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内 没有与这条直线垂直的直线。( ) （1）若一条直线与一个三角形的两条边垂直, 则这条直线垂直于三角形所在的平面。( ) （2）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直， 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。（ ） （3）若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则 这条直线垂直于梯形所在的平面。（ ） √ × × √ （5）若a // b，a ⊥c,则b ⊥c。( )√ a b α 两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面 垂直，则另一条也与这个平面垂直。 已知：a // b，a ⊥α 求证：b ⊥α m n 例1: 定理应用 练习3.如果两直线垂直于同一个平面,那么这 两条直线平行． 练习2.过一点只有一个平面和一条直线垂直． 练习1.过一点只有一条直线和一个平面垂直．结论1. 结论2. 结论3. 常用结论发散 定理应用 例例2:2:如图，点如图，点P P 是平行四边形是平行四边形ABCD ABCD 所在平面外一点，所在平面外一点，O O 是对角线是对角线ACAC与与 BDBD的交点，且的交点，且PA PA ==PC PC ，，PB PB ==PD .PD . 求证：求证：POPO⊥⊥平面平面ABCDABCD C A B D O P = ABCDPO OBDAC 平面 又 ^\ IQ BDPO BDOPDPB 的中点是点又 ^\ =Q , ACPO ACOPCPA 的中点是点证明 ^\ =Q , 例3 已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是 与AC 异面的体对角线. 求证：AC⊥BD' A B D C A′ B′ CD ′′ 证明：连接BD 因为正方体ABCD-A'B'C'D' 所以DD‘⊥平面ABCD 又因为 所以 因为AC、BD 为对角线 所以AC⊥BD 因为DD'∩BD=D 所以AC⊥平面D'DB 所以AC⊥BD' A B D C A′ B′ C′D′ 答：四个全部都是 关键：发现并证明BC 平面PAC ∟ 巩固练习 例4:在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC， AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证： AD⊥PC. P A B CD 1、如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VC， AB=BC，求证：VB⊥AC。 V A B C o. 巩固练习 P A B C O 2.如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC 如图，直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1（侧棱与底面垂 直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边 形ABCD 满足什么条件时， A1C⊥B1D1？ A1 B1 C1 D1 四.知识小结： 直线与平面 垂直的判定 定义法 间接法直接法 如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。 如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线 此直线垂直于这个平面 判定定理 如果一条直 线垂直于一个平 面内的两条相交 直线，那么此直 线垂直于这个平 面。 （1） （2）数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题 • 典例 平面内有一个三角形ABC，平面外 有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC ，且PA＝PB＝PC，若点O是△ABC的外 心，求证：PO⊥平面ABC. • 【解】 如图所示，分别取AB，BC的中 点D，E，连接PD，PE，OD，OE. • 因为PA＝PB＝PC， • 所以PD⊥AB，PE⊥BC， • 因为O是△ABC的外心， • 所以OD⊥AB，OE⊥BC， • 又因为PD∩DO＝D，OE∩PE＝E， • 所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO， • 于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B， • 从而推得PO⊥平面ABC. 如图,点Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿是点P到平面 的垂线段 p Q   过一点向平面引垂线，垂足叫做这 点在这个平面上的射影；  这点与垂足间的线段叫做这点到这 个平面的垂线段。 １.垂线、斜线、射影 (１)垂线 点P在平面 内的射影 线段PQ 二、直线和平面所成的角 （2）斜线 一条直线和一个平面相交，但不和 这个平面垂直，这条直线叫做这个平面 的斜线．  斜线和平面的交点 叫做斜足。  从平面外一点向平 面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点 到这个平面的斜线段 P R 说明：平面外一点 到这个平面的垂线 段有且只有一条， 而这点到这个平面 的斜线段有无数条 思考：平面外一点到一个平面的垂线段有 几条？斜线段有几条？ P RQ ST 如图：＿＿＿＿是斜线AC 在 内的射影，线段BC是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ A CB   过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在 这个平面上的射影． 垂足与斜足间的线段叫做这点到平 面的斜线段在这个平面上的射影． (３)射影 直线BC 斜线段AC在 内的射影 A CB F E说明：斜线上任 意一点在平面上 的射影，一定在 斜线的射影上。 思考：斜线上的一个点在平面上的射 影会在哪呢？ 平面的一条斜线和它在平面内的射影 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所 成的角。 2.直线和平面所成角的定义 A BO ①一条直线垂直于平面，它们所成的角 是直角； ②一条直线和平面平行，或在平面内， 它们所成的角是0 的角。 说明： ③直线和平面所成角的范围是[0， ] A l B O D l是平面 的斜线，点O是斜足，A是l 上任意一点，AB是平面 的垂线，B是垂 足，直线OB是l在内的射影， ∠AOB (记作θ）是l与平面 所成的角. θ与∠AOD的大 小关系如何？ C OD是 内不同于OB的 任一直线，过点A引AC 垂直于OD，垂足为C. A l B O D θθ与∠∠AODAOD的大小关系如何？ 在Rt△AOB中， 在Rt △AOC中， ∵AB＜AC， ∴sinθ＜sin∠AOD ∴θ＜∠AOD 拓展：斜线和 平面所成的角， 是这条斜线和平 面内任意的直线 所成的一切角中 最小的角。 C 定理： 斜线和平面所成的角，是这条斜线 和平面内经过斜足的直线所成的一切角中 最小的角。 例1.如图，AO是平面π的斜线，AB ⊥平 面π于B，OD是π内不与OB重合的直线， ∠AOB= ，∠BOD=  ，∠AOD= ，求证：cos  =cos  cos  A B O DC  例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求A1B与平面BB1D1D所成的角 A1 B1 C1 D1 A B CD 例3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 （1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。 （2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。 O 分析:找出直线A1B在平面 BCC1B1和平面A1B1CD内的射 影,就可以求出A1B和平面 BCC1B1和平面A1B1CD所成的 角。 巩固练习 1.判断下列说法是否正确 （1）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线 （ ） （2）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线 （ ） （3）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线 （ ）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等 （ ） 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B 巩固练习 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B O 线段B1O 巩固练习 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B E 线段B1E 巩固练习 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B 线段C1D 巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 A1 D1 C1 B1 A D C B 0o 巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 A1 D1 C1 B1 A D C B 90o 巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 A1 D1 C1 B1 A D C B 45o 巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 A1 D1 C1 B1 A D C B E 30o 巩固练习 归纳小结 1．直线与平面垂直判定定理和性质定理 4．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题 3．寻找直线与平面所成角 关键：寻找直线在平面上的投影 2. 线面角的概念及范围 2.3.3直线与平面垂直的性质 1. 直线和平面垂直的定义如何？ 如果一条直线和一个平面相交,并且 和这个平面内的任意一条直线都垂直,则 称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫 做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点 叫做垂足. α A 复习回顾 有定义可得： 2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 线线垂直 线面垂直 图形表示 符号表示 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱 AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么 位置关系？ A A1 B C D B1 C1 D1 新知探究 思考2 如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那 么直线a，b的位置关系如何？ a b l a b l a b l 相交 平行 异面 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. 一、线面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 α a b o 证明： 假设 a与b不平行. ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! b’ 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b ∵a⊥α , ∴a∥b . 1.判断下列命题是否正确： ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 正确的是：①④ 2.若a,b表示直线, 表示平面，下列命题 正确的是 。(3)(4) 巩固练习 ①m与n相交 ,则 a∥b， 3 请在下面的横线上填上适当的条 件,使结论成立。 ②m与n异面 ③m与n不平行 ① 巩固练习 4 如图，已知 于点A， 于点B， 求证： . A B C α β l a 2.数学思想 转化 空间问题 平面问题 1.知识方法 小 结 ①线面垂直的性质定理及其应用 垂直关系 平行关系 线面关系 线线关系