§1.2.2
同角三角函数的基本关系
（第一课时）
【
学习目标
】
1﹑
知道同角三角函数的基本关系
.
2﹑
知道同角三角函数的基本关系的推导
.
探究一、同角三角函数的基本关系及公式推导：
O
二、新知探究
自主探究：（预习教材
P18-P20
）
一、知识回顾
同角三角函数的基本关系公式推导：
∵
∴
∴
∴
知识点
1
：同角三角函数的基本关系
(1)
平方关系
:
；
即
的正弦、余弦的平方和等于
；
(2)
商数关系
:
；
即
的正弦、余弦的商等于
；
同一个角
同一个角
正切
1.
公式中的角
一定是同角
，否则公式可能不成立
.
如
:sin
2
30º+cos
2
60º≠1.
注意：
加强对平方关系及商数关系
的理解：
2.
同角不要拘泥于形式
， ，
,
等
等都可以
.
如：
5
.
对平方关系及商数关系不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（
正用、反用、变形用
）
.
3.
商数关系
中注意限制条件
.
即
cos
α
≠0
.
α
≠
k
π
+
，
k
∈Z.
4.
利用平方关系及商数关系，只要知道一个就可以求出其它二个（知一求二）．
探究二、
平方关系及商数关系的变形：
1
、
由 可变形得：
知识点
2
：公式变形
2
、
对于商数关系 可变形得：
3
、
结合平方关系和商数关系
(
或三角函数定义）
可变形得：
例
1.
已知 ，且 是第三象限角，
求 的值。
解：
∵
∴
第三象限角
∵
知识点
3:
同角三角函数的基本关系及其应用
∴
已知
,
求 的值
.
变式
1
、
从而
解
:
∵
,
∴
是第三或第四象限角
.
由 得
如果 是第三象限角
,
那么
如果 是第四象限角
,
那么
小结
:
当角的象限不明确时
,
要注意
根据已知角的三角函数值分象限进行讨论
.
例
2
、已知， 求 的值。
解：
（
1
）当 时
不妨设
x=4
，
y=3
（
2
）当 时
不妨设
x=-4
，
y=-3
方法二、同角三角函数的基本关系
由题意得
解得
方法一、三角函数定义法
例
2
、已知， 求 的值。
方法三、公式法
1
、
若已知 的值，如何求 和
的值？
2
、
若已知 的值，如何求 和
的值？
解题归纳
例
3
、
求证：
？
思考
恒等式证明常用方法
?
基本思路
:
由繁到简
可以从左边往右边证，可以从右边往左边证，也可以证明等价式。
证法一：
由原题知：
则
原式左边
=
=
右边
因此
恒等变形的条件
应用同角关系式证明恒等式
化繁为简
证法二：
因为
∴
由原题知：
恒等变形的条件
分析法
应用同角关系式证明恒等式
（∴原式成立）
例
3
、求证：
证明：
因此
作差法
应用同角关系式证明恒等式
比较法
证法三：
例
3
、求证：
证明：
因此
作商法
比较法
证法四：
应用同角关系式证明恒等式
1
、化繁为简：
等价变形：
从等式一边变形得到另一边；
证明三角恒等式经常使用的方法：
3
、作差法：
两式相减等于
0
；
2
、左右归一：
证明左、右两边式子等于
同一个式子
4
、作商法：
两式相除等于
1(
保证分母不为零
)
。
sin
2
α
+cos
2
α
=1
平方关系
商数关系
1
、同角三角函数的两个基本关系式
(1)
给定角的一个三角函数值，求这个角的其余三角函数值。
2
、应用：
(2)
化简三角函数式和证明三角恒等式。
课堂小结
3
、应用的方法：
正用
,
逆用
、
变形用
.
作业：
1
、整理并完成学案；
2
、预习下一节“三角函数诱导公式”
学习数学公式需要做好哪几件事？
记住它！（通过分析式子的结构来记忆）
明确公式成立的条件（何时
“
不必疑
”
？）
熟悉公式的变形
熟悉公式的一些典型应用
熟悉应用公式时的易错点
能否直接用
来表示？
思考
因为
又因为
所以
于是
又因为
所以
∴
∵
∴
∵
能否直接用
来表示？
思考
拓展延伸
学习数学公式需要做好哪几件事？
记住它！（通过分析式子的结构来记忆）
明确公式成立的条件（何时
“
不必疑
”
？）
熟悉公式的变形
熟悉公式的一些典型应用
熟悉应用公式时的易错点
同角公式的应用
解：分子分母同时除以
cos
α
得：
练习
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