在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
复习回顾
O
b
a M
P
c
1.2.1任意角的三角函数
上述定义只限于直角三角形中的锐角，
而现在角的定义已经拓广到任意角，如:
O
b
a M
P
y
x
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到
直角坐标系中，在角α的终边上取一点P（a
，b），那么，sinα,cosα，tanα的值分
别如何表示？
一、任意角的三角函数
﹒
∽
MO
y
x
P(a,b)
思考2：对于确定的角α，上述三个比值是否
随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢
？为什么？
以原点为圆心,以单位
长度为半径的圆叫做
单位圆.
思考3：为了使sinα，cosα的表示式更
简单，你认为点P的位置选在何处最好？
α的终边
P(x，y)
O x
y
P(x,y)
α的终边
思考4：设α是一个任意角，它的终边与单位
圆交于点P（x，y），为了与当α为锐角时的
三角函数保持统一，你认为sinα，cosα，
tanα对应的值应分别如何定义？
对应关系 ， ，
都是以角为自变量，以单位圆
上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,
分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，
并统称为三角函数.
思考5：三角函数该如何定义呢？
﹒
注意：无论角a是第几象限角，它的三角函数
的定义都是一样。
例1、求 的正弦,余弦,正切的值y
x
O
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与
单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数
值。
O x
y
P（x，y）
M
分析：可得点
，故
练习：求角 的正弦、余弦和正切值。
正切函数的定义域是
正、余弦函数的定义域为R，
思考6:在弧度制中，这三个三角函数的
定义域分别是什么？
例2 已知角 的终边经过点 ，求
角 的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得
设角 的终边与单位圆交于 ，
分别过点 、 作 轴的垂线 、
＼
于是，
∽
设角 是一个任意角， 是终边上的
任意一点，点 与原点的距离
那么① 叫做 的正弦，即
② 叫做 的余弦，即
③ 叫做 的正弦，即
任意角 的三角函数值仅与 有关，而
与点 在角的终边上的位置无关.
定义推广：
于是，
练习： 已知角 的终边过点 ，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
特殊角的三角函数:
不
存
在
不
存
在
全为+ 一全正 二正弦
三正切 四余弦
一、三角函数值的符号:
规律:
结论:终边相同的角的同一三角函数的值相等.
二、三角函数的诱导公式一:
例2、确定下列三角函数值的符号：
例1:确定下列三角函数值的符号：
解：
例2:求下列三角函数值：
3、解答下列问题：
(1)若 ，试指出 所在的
象限；
(2)若 在第三象限，判断
的符号.
第三象限
2、函数 的值域是( )
1、设角 属于第二象限角,且 ，
则角 属于第 象限角？
当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 ，
都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫
有向线段．
三角函数线：用有向线段的数量来表示。
y
O x
P
M A
T
(1) 作出角的终边，画单位圆;
作三角函数线的步骤:
(2) 设α的终边与单位圆交于点P，作
PM⊥x轴于M，则有向线段MP是正弦线,
有向线段OM是余弦线;
(3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A，
过点A作x轴的垂线与角α的终边
(或其反向延长线)交于点T，
则有向线段AT是正切线.
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
P
α终边
M A
T P
M A
T
正弦线
余弦线
正切线
P
P
M
A
T
P
M
A
T
-1
x
y
1
1-1
O
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
-1
x
y
1
1-1
O
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
-1
x
y
1
1-1
O
T
A
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
总结提升
. (1)本节是如何定义任意角的三角函数的?
. (2)你能写出各三角函数的定义域吗？
. (3)你能准确判断三角函数值在各象限内
的符号吗?
课本 P15页 1、2、3、5.
练习： 确定下列三角函数值的符号：
（1） （2） （3）
（2）因为 = ，
而 是第一象限角，所以 ；
（1）因为 是第三象限角，所以 ；解：
（3）因为 是第四象限角，所以 .
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