九年级数学下册第3章三视图与表面展开图3-4简单几何体的表面展开图课件（浙教版）

第3章 三视图与表面展开图 3.4 简单几何体的表面展开图 展开图 第 1 课 时 杜登尼(Dudeney,1857-1930年)是19世纪英 国知名的谜题创作者．“蜘蛛和苍蝇”问 题最早出现在1903年的英国报纸上，它是 杜登尼最有名的谜题之一．它对全世界难 题爱好者的挑战，长达四分之三个世纪． A B A B ---- “蜘蛛和苍蝇”问题 在一个长、宽、高 分别为3米，2米，2米的长方体房间 内，一蜘蛛在一面的中间,离天花板0.1米处(A点)，苍蝇 在对面墙的中间,离地面0.1米处(B点),试问:蜘蛛去捉苍蝇 需要爬行的最短距离是多少? 将立方体沿某些棱剪开后铺平,且六个面连在一起， 这样的图形叫立方体的表面展开图。 需要七刀才能剪开。 不 同 的 剪 法 就 会 有 不 同 的 展 开 图。 一四一型一四一型 一三二型一三二型 二个三型二个三型 三个二型三个二型 二个三型 一四一型 一三二型 三个二型 “一四一”,“一三二”. “一”在同层可任意； “三个二”成阶梯， “二个三”，“日”字连； 异层 “日”字连 整体没 “凹”和“田” 口诀 下面的图形都是立方体的展开图吗？下面的图形都是立方体的展开图吗？ (1) (2) (3) (4) 下面的图形都是立方体的展开图吗？ (1) (2) (3) (4) C D E A B   添上一个小正方形,使下图折叠后能围成一个立 方体,有哪几种添法？ C D E A B   添上一个小正方形,使下图折叠后能围成一个立 方体,有哪几种添法？ C D E A B   添上一个小正方形  添上一个小正方形,,使下图折叠后能围成一个使下图折叠后能围成一个 立方体立方体,,有哪几种添法？有哪几种添法？ C D E A B   添上一个小正方形,使下图折叠后能围成一个立 方体,有哪几种添法？   添上一个小正方形,使下图折叠后能围成一个立 方体,有哪几种添法？ C D E A B 立方体展开图的周长是每个小正方形边长的几倍? 1 2 3 4 5 6 6 1 4 1 5 6 3 2 (1) 5 6 3 2 4 1 (2) 5 6 3 2 1 4 (3) 5 6 3 2 1 4 (4) 5 3 2 4 (5) 5 6 3 2 1 4 (6) 4 5 6 3 1 2(7) 6 3 1 5 6 3 4 1 2(8) 展开图规律之四: 立方体表面展开图的周长是小 正方形边长的14倍. 想一想： 5 6 3 4 21(9) 2 5 1 36 4 (10) 5 6 3 421(11) • 例1.如图是一个立方体的表面展开图吗? 如果是,请 分别用1,2,3,4,5,6中的同一个数字表示立方体和它的 展开图中各对对应的面(只要求给出一种表示法) 6 2 3 4 5 1 1 4 2 3 5 6 典型例题典型例题 （1）下图给出三种纸样，它们都正确吗？ 典型例题典型例题 例2：有一种牛奶软包装盒如图. 为了生产这种包装盒， 需要先画出展开图纸样. 解：图中，因为表示底面的两个长方形不可能在同一 侧，所以图乙不正确. 图甲和图丙都正确. 甲 乙 丙 （2）从已知正确的纸样中选出一种，标注上尺寸； 解：若选图甲，可得表面展开图及尺寸标注如下图. 甲 a b b bb a a 解:由右图可得,包装盒的侧面积为 S侧= S表=S侧+2S底 a b b bb a a h （3）利用你所选的一种纸样，求出包 装盒的侧面积和表面积（侧面积与两 个底面积的和） . 想一想：(1) 直棱柱的侧面展开图一定是什么平面图形？ 长方形 (2) 直棱柱的侧面积与底面周长及侧棱长有怎样的关系？ 直棱柱的侧面积=底面周长× 侧棱长 ⑴ ⑷⑶ 下图中的哪些图形可以沿虚线折叠成长方体包装盒? 先想一想，再折一折. ⑵ (5) 想一想 在一个长方形长、宽、高 分别为3米，2米，2米长方体房间 内，一蜘蛛在一面的中间离天花板0.1米处(A点)，苍蝇在对 面墙的中间,离地面0.1米处(B点),试问:蜘蛛去捉苍蝇需要爬 行的最短距离是多少? B A 解：1.左→上 →右 A B 3米 2米 2米 3.左→前→右 B A 2. 左→下 →右 B A AB=5 AB=5 直四棱柱 直三棱柱 直六棱柱 2 4 2 2 C B 5. 通过这节课的学习活动你有哪些收获？通过这节课的学习活动你有哪些收获？ 你还有什么想法吗？你还有什么想法吗？ c 7 -1 b a 1、如图是一个正方体纸盒的展开图，图中的6个正方 形中分别已填入了-1、7、 、a、b、c，使展开图沿虚 线折叠成正方体后相对面上的两个数互为相反数,求a、 b、c的值. 练一练：  2、将前、右、上三个面做有标记的立方体盒子展开， 以下各示意图中是它的展开图的是（ ） A B DC C 练一练： 3、下面的图形是正方体的平面展开图，如果把它们叠 成正方体，哪个字母与哪个字母对应（即哪个面与哪个 面是对面的） A B C D E F A B C D E F 练一练： 4、如图是立方体的表面展开图，要求折成立方体后，使 得6在前，右面是2，哪个面在上？ 5 6 2 1 3 4 练一练： 5、 有一个正方体，在它的各个面上分别写了①、②、③、④、 ⑤、⑥。甲、乙、丙三位同学从三个不同的角度去观察此正方 体，结果如下图，问这个正方体各个面的对面的是什么数？ ⑥ ② ④ 甲 ②③ ① 乙 ④ ③ ⑤ 丙 练一练： 下面的图形都是立方体的展开图吗？ 第2课时 B C DA 问题1：矩形ABCD，绕AB边所在直线旋转一周 得到的图形是什么？ B C DA 动作演示 圆柱的有关概念： 圆柱可以看作由一个矩形ABCD绕一条边(AB)旋转一周,其余各 边所成的面围成的几何体.直线AB叫做圆柱的轴，AD、BC旋转所成 的面就是圆柱的两个底面,是两个半径相同的圆．CD旋转所成的面 就是圆柱的侧面,CD不论转到哪个位置,都是圆柱的母线．圆柱两个 底面之间的距离是圆柱的高. A B C D 母线底面 侧面 高 问题:将圆柱的侧面沿母线剪开，展在一个平面上 得到什么图形？你能想象出圆柱的展开图吗？ 观察 1、这个展开图是圆柱侧面展开图----矩形的两边分别是圆柱 中的什么线段？ 一边是圆柱的母线，一边是圆柱底面圆的周长一边是圆柱的母线，一边是圆柱底面圆的周长 2、矩形的面积公式是什么？请归纳圆柱的侧面面积公式？ 3、圆柱的表面展开图怎样？请归纳圆柱的表面积公式？ SS圆柱侧面积圆柱侧面积==底面圆的周长底面圆的周长××圆柱母线长圆柱母线长=2π=2πr r l SS圆柱全面积圆柱全面积==圆柱侧面积圆柱侧面积+2×+2×底面积底面积 ==2π2πrr l+ 2π+ 2πrr22 底面圆的周长底面圆的周长l rr 例3 如图,用一张面积为900cm2的正方形硬纸片围成一个 圆柱的侧面，求这个圆柱的底面直径（精确到0.1cm） 解：设正方形边长为解：设正方形边长为xx,,则：则： 依题意可得：依题意可得：2π2πr=r=3030 答：这个圆柱的直径约为答：这个圆柱的直径约为9.6cm9.6cm。。 1.如图,已知矩形ABCD, AB＝25 cm, AD＝13 cm . 若以 AD边为轴,将矩形旋转一周,则所成的圆柱的底面直径 是________cm,母线长是________cm,侧面展开图是一 组邻边长分别为 ___________ 的一个矩形. 1350 50πcm和13cm 25 cm 13 cm 变式：若以AB边为轴,将矩形 旋转一周呢？ 2.一个圆柱的底面直径为20cm,母线长为15cm.求这个圆 柱的侧面积和全面积(结果保留π). S侧= 2πrl= 2π×10×15 = 300π(cm2). S全= 2πrl + 2πr²= 2π×10×15+2π×10² = 500π(cm2). 答:圆柱的侧面积为300πcm2，全面积为500πcm2. 如图,一只蚂蚁在圆柱的底面A处,准备沿着圆柱的侧面爬到B 处,它怎样爬行路线最近？先说说你的解题思路,然后给出解 答,并算出最近路线的长(精确到0.01 cm). 探究活动 4 6 A B A 画出圆柱的侧面展开图如图,BC BC＝2π, AC＝6. 根据两点之间线段最短, 蚂蚁在圆柱表面爬行的 最短路程长应是线段AB的长, 1.一个圆柱的底面半径为120mm,母线长为280mm.以1:10 的比例画出它的表面展开图,并求出它的侧面积和全面积 (结果保留π). S侧= 2πrl = 2π×120×280 =67200π(mm2). S全= 2πrl+2πr² = 96000π(mm2). 2π×1.2 2.8cm 4.已知圆柱的全面积为150πcm²,母线长为10 cm.求这 个圆柱的底面半径. 设底面积半径为 r.由题意, 得 2πr² + 2πr×10 = 150π, ∴ r²+10r－75 = 0, 解得r 1= 5,r2＝-15 (不合题意,舍去). 答:圆柱的底面半径为5cm. 5.已知一个圆柱的侧面展开图是长为20πcm,宽为10cm 的矩形.描述这个圆柱的形状,并画出它的三视图(尺寸比 例自选). 它的三视图如图. 解：∵2πr=20π，∴r=10 ∴这个圆柱的底面半径为10cm,母线长为10cm, 6.已知一个圆柱的底面半径r与母线长l的比为2:3,圆柱 的全面积为500πcm².选取适当的比例画出这个圆柱的 表面展开图. ∴r=10, l＝15.所求展开图如图. 15 20π 解：设r=2k，l=3k ，由已知可得 2πr² + 2πrl= 500π. ∴8πk2+12πk2=500π ∴20πk2=500π ∴ k＝5(负值舍去）. 总结 ： 知识：圆柱的形成圆柱的形成、基本概念基本概念（（圆柱的底面、侧面和高、 圆柱的轴、母线）、圆柱的侧面展开图及其面积公式公式:: SS侧侧=2π=2πrrl SS全全= = SS侧侧+ 2+ 2SS底底=2π=2πrrl+ 2π+ 2πrr22 思想:“转化思想转化思想” 求圆柱的侧面积（立体问题） 转化为求矩形的面积（平 面问题） 运动的观点（运动的观点（圆柱的形成） 方法：圆柱的侧面展开（化曲为直）． 如图为一个圆柱的三视图.根据三视图的尺寸,画出这 个圆柱的表面展开图. 问题1.圆柱体怎么形成呢？ 问题2.你对圆柱还有哪些了解？ 将矩形绕一边所在直线旋转360°所 形成的几何体 第3课时 试一试：以直角三角形一条直角边所在的直线为轴， 其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体是……？ 圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角 边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成 的面所围成的几何体. 侧面 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面 母线 无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥 的母线 另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面 圆锥的相关概念 圆锥底面圆周上的任意一点 与圆锥顶点的连线叫做圆锥的 母线 l 连结顶点与底面圆心的线段 叫做圆锥的高 问题: 圆锥的母线有几条？ 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 得到的截面是圆，在不同位置所截得 的圆的半径，与底面半径均不等。 用过圆锥的高线的平面截圆锥，得到的 截面（圆锥的轴截面）是等腰三角形 它的底边是圆锥底面的直径 底边上的高线就是圆锥的高线 1.连结顶点与底面圆心 的线段叫做圆锥的高 如图中l是圆锥的一条母线， 而h就是圆锥的高 2.圆锥的底面半径、高线、 母线长三者之间的关系: O P A Br h l 填空: 根据下列条件求值（其中r、h、 分别是圆锥的底面 半径、高线、母线长） （1） l = 2，r=1 则 h=_______ （2）h =3, r=4 则 =_______ （3）l= 10, h = 8 则r=_______ 5 6 l 动一动： 11．准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的．准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的 表面展开图． 表面展开图．  问题问题:: 1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一 个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？ 既是圆的周长 又是侧面展开图扇形的弧长 问题问题:: 2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥 中的哪一条线段相等？ 既是圆锥的母线 又是侧面展开图扇形的半径 O P A Br h l 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆 锥的一条母线的长的扇形面积. 圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积. 圆锥的侧面积和全面积 如图:设圆锥的母线长为a,底面半径为r.则 圆锥的侧面积公式为： 全面积公式为： = πrl ＋πr2 O P A Br h l 例1、根据圆锥的下列条件，求它的侧面积和全面积 （1） r=12cm, l=20cm （2） h=12cm， r=5cm l O P A Br h l ) θ 若设圆锥的表面展开图扇形的圆心角为 ， 则由 得到圆锥的侧面展开图扇形的 圆心角度数的计算公式： 例2.圆锥形烟囱帽的母线长为80cm，高为38.7cm. （1）求这个烟囱帽的面积（精确到10 c㎡)。 r h l 解：（1）∵l=80cm,h=38.7cm, ∴ ∴S侧= = ×70×80 答：烟囱帽的面积约 r h l （2）以1:40的比例画出这个烟囱帽的展开图 解：烟囱帽的展开图 的扇形圆心角为 按1:40的比例画出这个烟囱 帽的展开图如图. 例3. 童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身 的母线长为15cm，底面半径为5cm，生产这种帽身10000个， 你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗（不计接缝用 料和余料，π取3.14 ）？ 解:∵ l=15cm,r =5cm, 235.5×10000= 2355000 （cm 2 ) 答：至少需 235.5 平方米的材料. ∴S 侧 =πrl 3.14×15×5 = 235.5（cm 2 ) 注意：1.认清直径还是半径 2.公式中的l表示母线 1.已知圆锥的底面半径为12cm,母线长为20cm.求这个圆锥的侧 面积和全面积. S側= 240πcm2，S全= 384πcm2. 2.如图为一个圆锥的三视图.以相同的大小比例画出它的表面 展开图. 解：由已知三视图， 得r ＝ 120mm, l ＝ ＝200(mm) 练习 4.将半径为30cm的圆形铁皮剪成三个全等的扇形,用来做三个无 底的圆锥形筒,则圆锥形筒的高是少(不计接头) ? 3.一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240°的扇形.求 这个圆锥的底面半径. 12cm 解：设圆锥底面半径为r,则 得r = 10(cm). 在圆锥的轴截面中,由勾股定理,知 5.已知圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面圆心的截面)是边长为 6cm的正三角形.求圆锥的高和侧面积,并以1:2的比例画出圆锥 的表面展开图? 6.如图为一个圆锥的侧面展开图.以1:10的 比例画出它的三视图. 解：由已知侧面展开图,得 ×360 ＝ 270,解得r ＝225(cm). 所求三视图如图,比例 1:10 解： 一个圆锥形的零件, 经过轴的剖面是一个等腰三角形, 这个三角形就叫做圆锥的轴截面；它的腰长等于圆锥的母 线长, 底边长等于圆锥底面的直径. 圆锥的轴截面 A B CO 如△ABC就是圆锥的轴截面 S轴截面=h×2r÷2=rh 已知一个圆锥的轴截面△ABC是等边三角形，它的表面积为 75 cm2,求这个圆锥的底面半径和母线的长. BC O A解：∵轴截面△ABC是等边三角形 ∴AC=2OC 由题意，得 答：圆锥的底面半径为5cm，母线长为10cm. 合作探究 如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一 只小虫要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面回到B 点，问它爬行的最短路线是多少？ 若沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴 截面上另一母线AC上中点D,问它 爬行的最短路线是多少？ D 本节课我们认识了圆锥的侧面展开图,学会计算 圆锥的侧面积和全面积,在认识圆锥的侧面积展开图 时,应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的 弧长.圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径,这 样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确. 本节课我们有什么收获? h 高 底面半径 r 母线 小结 1.圆锥的高,底面半径, 母线长之间的关系是: 2．圆锥的侧面积： 3．圆锥的全面积： 4．圆锥侧面展开图的圆心角： 转化（立体图形与平面图形之间的相互转化）数学思想： 数学方法： 分割法