九年级数学下册第24章圆24-2圆的基本性质课件（沪科版）

第24章 圆 24.2 圆的基本性质 第 1 课时 如图24-14，在平面内线段OP绕着 它固定的一个端点O旋转一周，则另 一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆. 圆的概念: rO P 固定的端点O叫做圆心，线段OP的长 为r叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作"⊙O"， 读作“圆”. 图 24-14 从图24-14画图的过程中，你能说出圆上的点有什么特性吗？ （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）平面内到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）的 所有点都在同一个圆上. 因此，圆可以看成平面内到定点（圆心O）的距离等于 定长（半径r）的所有点组成的图形. 思考: 注意: (1)圆是一条封闭曲线(而不是一个圆面)； (2)圆是由圆心和半径确定的,圆心确定圆的位置,半径 确定圆的大小). 交流： 平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外， 与圆还有几种位置关系，这些关系根据什么来确定？ 点与圆的位置关系 符号 读作等价于.它表示从符号的 左边可以推出右边；同时从符号的右 边也可以推出左边. （2）若点A在⊙O 内 （3）若点A在⊙O外 （1）若点A在⊙O上 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号 ⌒表示.以A,B为端点的弧记作AB，读作弧AB. 与圆有关的概念 连接圆上的任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫 做直径. 注意：同圆中所有半径都相等 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都 叫做半圆.大于半圆的弧一叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣 弧, 与圆有关的概念 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等. 在同圆或者等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 证明: 连接AC,DB. 例题分析： 例1 已知：如图24-17，AB,CD为⊙O的直径. 求证：AD//CB. 图 24-17 ∵ AB,CD为⊙O的直径 ∴ OA=OB， OC=OD ∴ 四边形ABCD为平行四边形. ∴ AD//CB 1.如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧. 2.选择题 （1）下列说法，正确的是（ ）。 ①线段是弦；②直径是弦；③经过圆心的弦是直径； ④经过圆上一点有无数条直径。 A、①② B、②③ C、②④ D、③④ 答案：B （2）如图，在⊙O中，点A、O、 D以及点B、O、C分别在一条直 线上，图中弦的条数为（ ）。 A、2 B、3 C、4 D、5 答案：B 1.从树木的年轮，可以很清楚的看出树生长的年龄。如 果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树 的半径平均每年增加多少？ 23÷20=1.15 1.15÷2=0.575 定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形 叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半 径。 从运动和集合的观点理解圆的定义： 定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 第2课时 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所 对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m， 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 我们知道，等腰三角形，平行四边形，矩形，菱形， 正方形等图形都具有对称性.那么圆是否具有对称性呢？根 据它的对称性又能推出圆的哪些性质呢？ 1.在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把 ⊙O折叠，如图24-18，你发现了什么？ 圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过 圆心的直线. 垂径分弦 A（B ） D C 图 24-18 A B D C O E 图 24-19 2. 在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合 的点A,B,如图 24-18.把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直 径，点A,B是关于直线CD的一对对应点.连接AB，得弦AB ，如图24-19，这时直径CD与弦AB有怎么的位置关系？ 图 24-18 A（B ） D C 3. 直径CD把劣弧 分成 与 两部分，把优弧 分成 与 两部分，这时 与 , 与 各有怎样 的关系？ A B D C O E 图 24-19 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧. 垂径定理 ·O A B D E 图 24-20 C CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 结论 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE=BEAE=BE AC=BCAC=BC AD=BDAD=BD 圆心到弦的距离叫弦心距. 例2 如图24-21，⊙O的半径为5cm 中，弦AB的长为6cm，求圆心O到 AB的距离. 平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧． 垂径定理的推论1: EA B . O 图 24-21 例3 赵州桥（图24-22）建于1400年前的隋朝，是我国 石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，它的跨度 (弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 图24-22 解：如图，设半径为R， 在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理， 解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. D 37.4 7.2AB=37.4, CD=7.2 R 18.7 R-7.2 得 8cm 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。 A B O E A B O E O A BE 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为 3cm,则⊙O的半径为 . · A B O ∟ C 5 cm 2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓 形所在圆的半径为 . (1)题 (2)题 128 13 cm 方法归纳: 1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用 垂径定理创造条件。 请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么？ ２、从方法上学习了什么？ 圆的轴对称性；垂径定理及其推论 （１）垂径定理和勾股定理结合. （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线 ——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径. 第3课时 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里 ? 复习引课 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心. N O 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N O N'  把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N O N' 定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆 重合。把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，由 此可以看出，点N'仍落在圆上. 圆心角，弧，弦，弦心距间的关系 · 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A 如图， ∠AOB就是一个圆心角，OC就是弦心距. C 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距. 将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？ 探究 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′ 重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′， OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合． 因此，弧AB与弧 A′B′重合，AB与A′B′重合． ⌒AB ⌒A′B′= 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那 么它们所对的圆心角_____， 所对的弦 ______； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那 么他们所对的圆心角______，所对的弧 ______． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等． 相等 相等 相等 相等 同圆或等圆中，同圆或等圆中， 两个圆心角、两个圆心角、 两条弧、两条两条弧、两条 弦中有一组量弦中有一组量 相等，它们所相等，它们所 对应的其余各对应的其余各 组量也相等组量也相等．． 定理与例题 1°弧 n° 1° n°弧 ∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆 心角是1º.同时整个圆也被分成了360份. 则每一份这样的弧叫做1º的弧. 这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角. 性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等. 性质 证明：∵ = ∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形． 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. A B C O 例4 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°， 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. 例5 在图中，画出⊙O的两条直径，一次连接这两条直径的 端点，得到一个四边形.判断这个四边形的形状，并说明理 由. 解：这个四边形是矩形. 理由:如图，AC、BD为⊙O 的两 条直径，则AC=BD，且 AO=BO=CO=DO. 连接AB、BC、CD、DA，则四边 形ABCD为矩形. A O C DB 如图，AB是⊙O的径， ， ∠COD=35°，求∠AOE的度数． ·A O B C DE 解： ⌒BC ⌒CD= = ⌒ DE ⌒BC ⌒CD= = ⌒DE 第4课时 复习引课 〉 类比确定直线的条件: 〉 经过一点可以作无数条直线； 经过两点只能作一条直线. ● A ● A ●B 确定圆的条件 〉 思考 1.作圆,使它过已知点A.你能作出 几个这样的圆? ●O ● A● O ●O ● O●O 2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?有何特 点？ ● A ●B ●O ●O ●O ●O 3.经过A,B,C.能不能作圆? 〉 2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆. 经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直 平分线上. 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为 圆心,这点到A或B的距离为半径作圆. 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的分布有什么特点?与线段AB有 什么关系？ ●A ●B ●O ● O ●O ●O 〉 3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上), 你能作出几个这样的圆? 老师提示: 能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆的 圆心在线段AB的垂直平分线上. 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？ ┓ ●B ● C 经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂直 平分线上. ┏ ●A 经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条垂直平分 线的交点O的位置. ●O 〉 请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直 线上). 〉 以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可. 请你证明你做得圆符合要求. ●B ● C ● A ●O 证明:∵点O在AB的垂直平分线上， ∴⊙O就是所求作的圆, ┓ E D┏ G F ∴OA=OB. 同理,OB=OC. ∴OA=OB=OC. ∴点A,B,C在以O为圆心的圆上. 这样的圆可以 作出几个?为什么 ? 〉 定理:不在一条直线上的三个点确定一个圆. 〉 在上面的作图过程中. 老师期望: 将这个结论及其证明作为一种模型对待.  ∵直线DE和FG只有一个交点O,并且点O 到A,B,C三个点的距离相等,  ∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并 且只能作一个圆. ●B ●C ●A ●O ┓ E D ┏ G F 〉 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆, 并说明与它们外心的位置情况 锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于 直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外. 老师期望: 作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握. A B C ●O A B CC A B ┐ ●O ●O A B C 过如下三点能不能作圆? 为什么? 过什么样的三点能作圆呢? 为什么? 假设过同一直线上三点A、B、C能 作圆则AB的垂直平分线与BC的垂直 平分线交于一点E这与过一点只有一 条直线与已知直线垂直相矛盾，所以 过同一直线上三点能不能作圆. 过如下三点能不能作圆? 为什么 ? A B C E 不在同一直线上的三点确定一个圆 A B C 2、 已知△ABC，能用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆. 已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆. O A B C 解答提示： 1、作AB的垂直平分线EF ； 2、作BC的垂直平分线MN 交EF于O； 3、以O为圆心OA为半径 作圆，则过A、B、C. 如图，AB是⊙O的直径， ， ∠COD=35°，求∠AOE的度数． ·A O B C DE 解： ⌒BC ⌒CD= = ⌒ DE ⌒BC ⌒CD= = ⌒ DE （1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大 小才唯一确定。 （2）经过一个已知点能作无数个圆。 （3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这些圆的 圆心在线段AB的垂直平分线上。 （4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （5）外接圆，外心的概念。