九年级数学下册第24章圆24-3圆周角课件（沪科版）

第24章 圆 24.3 圆周角 第1课时 复习引课 1.圆心角的定义? .O B C 答：在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有 其中的一组量相等，那么它们所对应的其余两个量 都分别相等。 答:顶点在圆心的角叫圆心角。 2.上节课我们学习了一个反映圆心 角、弧、弦三个量之间关系的一个 结论，这个结论是什么？ A B C 一个三角形，当它内接于一个圆时， 它的任一个角都与圆有着特殊的位置 关系.如图，∆ABC内接于⊙O，这时 ∠A的定点在圆上，∠A的两边AB,AC 分别与圆还有另一个公共点. 像这样，定点在圆上，并且两边都与圆还有另一 个公共点的角叫做圆周角. 类比圆心角探知圆周角 • 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. 〉 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系 ？为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角 之间的关系. 你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗? 圆周角和圆心角的关系 教师提示:注意圆心角与圆周角的位置关系. （1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部． • 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有 什么关系? 说说你的想法,并与同伴交流. ●O A B C ●O A B C ●O A B C 我们得到以下几种情况. ①∠①∠ABCABC的一边的一边BCBC经过圆心圆心OO。。 ②∠ABC的两边都不经过圆心O。 ③∠ABC的两边都不经过圆心O。 BB AA OO CC ①① AA BB CC OO ②② BB AA CC OO ③③ 请问∠ABC与∠AOC它们 的大小有什么关系？说说 你的想法，并与同伴进行 交流。  下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即 ∠ABC的一边BC经过圆心O. B A O C∵ ∠AOC是△ABO的外角， ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO. ∵ OA=OB， ∴ ∠ABO=∠BAO. ∴ ∠AOC=2∠ABO， ∴ ∠ABC= ∠AOC. 1 - 2  那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与 ∠AOC又有怎样的大小关系呢？ A B C O B A C O 我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来 考虑. 也就是借用直径，连接也就是借用直径，连接BOBO并延长，与圆相交于点并延长，与圆相交于点D.D. （此时我们得到与图①同样的情形） AA BB CC OO DD 11 33 22 BB AA OO CC ①① 55 44 ∵ ∠1是△ABO的外角， ∴ ∠1=∠2+∠3. ∵ OA=OB ， ∴ ∠2=∠3. ∴ ∠1=2∠2 . B A C O B A O C ① 如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得 到与图①同样的情形） D ∵ ∠AOD是△ABO的外角, ∴ ∠AOD=∠A+∠ABO. ∵ OA=OB , ∴ ∠A=∠ABO. ∴ ∠AOD=2∠ABD , 如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图 ①同样的情形） BB AA CC OO BB AA OO CC ①① DD ∵ ∠AOD是△ABO的外角, ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO. ∵ OA=OB , ∴ ∠A=∠ABO. ∴ ∠AOD=2∠ABD , B A C O B A O C ① 如图，连接BO并延长，与圆O相交于点D。（此时我们得 到与图①同样的情形） D∵ ∠AOD是△ABO的外角, ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO. ∵ OA=OB , ∴ ∠A=∠ABO. ∴ ∠AOD=2∠ABD ,  通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你 会得到什么结果？ B A O C A B C O B A C O 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。一半 由定理可得 推论 1 在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，相等的圆周角所对的弧也相等（图 24-36）. 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径（图 24-37）. 例1 如图24-38，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P， ∠ACD=60°，∠ADC=70°，求∠APC的度数. 解：连接BC，则∠ACB=90°, ∠DCB=∠ACB-∠ACD=30°. ∴ ∠APC =∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°. 分析：∠APC等于圆周角∠BAD与∠ADC之和. 又 ∵ ∠BAD=∠DCB=30°， A O C B 1.如图，在⊙O中，∠BOC=50°， 则∠BAC= 。25° 变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC= 。 A B C O 变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上 的三点， ∠BAC=40°，则∠BOC= 。 50° 80° 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC ，∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？ A B C O 解：∠ACB=2∠BAC.理由: ∵ ∠AOB=2∠ACB, ∠BOC=2∠BAC, ∠AOB=2∠BOC, ∴ 2∠ACB =2（2∠BAC）. ∴∠ACB=2∠BAC. 到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各 有什么特点?相互之间有什么关系? 答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在 圆心;圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 第2课时 复习巩固 A B C O1.如图，∠BOC是 角，∠BAC是 角.若∠BOC=80°，∠BAC= . 圆心 圆周 40° 2.如图，点A，B，C都 在⊙O上，若 ∠ABO=65° ，则∠BCA=（ ） A. 25° B.32.5° C. 30° D.45° A B C OA 1.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC 为⊙O的直径， 请问∠BAD与∠BCD 之间有什么关系？为什么？ A B C O D解：∠BAD 与∠BCD 互补。 ∵AC 为直径， ∴∠ABC=90°,∠ADC=90°。 ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°。 ∴∠BAD与∠BCD互补。 一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边 形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外 接圆. 如图24-39，四边形ABCD内接于⊙O，这时，它的 每一个角都成为圆周角.利用圆周角定理，我们来研究 圆内接四边形的角之间的关系. A B C O D E 图 24-39 定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它 的内对角. 例 在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比 是2:3:6，求这个四边形各角的度数. 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别等于2x°,3x°,6x°. ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°. ∵ 四边形ABCD内接于圆， ∵ 2x+6x=180°， ∴ x=22.5°. ∴ ∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=180°- 67.5°=112.5°.  在圆内接四边形ABCD 中，∠A 与∠C 的度数之 比为4:5，求∠C 的度数. 解:∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补）. ∵∠A:∠C=4:5， ∴ . 即∠C 的度数为100°. 1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A 和∠C 的度数. A B CO D 解：∵ ∠BOD =80°， ∴ . （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心 角的度数的一半）. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠DAB+∠BCD=180°. ∴∠BCD=180°-40°=140°（圆内接四边 形的对角互补）. 2.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC， ∠ ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ A B C O 解：∠ACB=2∠BAC.理由: ∵ ∠AOB=2∠ACB, ∠BOC=2∠BAC, ∠AOB=2∠BOC, ∴ 2∠ACB =2（2∠BAC）, ∴∠ACB=2∠BAC. 1.要理解圆周角定理的推论. 2.构造直径所对的圆周角是解答圆中问题的常用方法. 3.要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所 对的圆周角也是常用方法之一. 4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等 圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的 角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转 化.但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁，如由弦相 等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等.