九年级数学下册第24章圆24-4直线与圆的位置关系课件(沪科版)
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九年级数学下册第24章圆24-4直线与圆的位置关系课件(沪科版)

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时间:2020-12-23

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资料简介
第24章 圆 24.4 直线与圆的位置关系 点和圆的位置关系有几种? 点到圆心的距离为d,圆的半径为r, 则: 点在圆外 d>r; 点在圆上 d=r; 点在圆内 d r rd ∟ rd ∟ r d 二、直线和圆的位置关系(用圆心到直线l 的距离d 与圆 的半径r 的关系来区分) 观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与地平线 (直线a)经历了哪些位置关系的变化? a(地平线) 1、已知圆的直径为13cm,设直线和圆心的距离为d: 3)若d=8cm ,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点. 1)若d=4.5cm ,则直线与圆  ,直线与圆有____个公共点. 3)若AB和⊙O相交,则 . 2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 ; 2)若AB和⊙O相切, 则 ; 相交 相切 相离 d > 5cm d = 5cm 0cm ≤d < 5cm 2 1 0 例:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以 C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什 么? (1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm. B C A 4 3 分析:要了解AB与⊙C的位置关系,只要 知道圆心C到AB的距离d与r的关系.已 知r,只需求出点C到AB的距离d即可。 Dd 解:过点C作CD⊥AB,垂足为D 在△ABC中, AB= 5 根据三角形的面积公式有 ∴ 即圆心C到AB的距离d=2.4cm 所以 (1)当r=2cm时,有d>r, 因此⊙C和AB相离。 B C A 4 3 Dd (2)当r=2.4cm时, 有d=r, 因此⊙C和AB相切。 (3)当r=3cm时,有d 相离相切相交 情境引入情境引入 动手操作:在⊙O中任取一点A,连结OA,过点A 作 直线l⊥OA . 思考:(可与同伴交流) (1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系? (2)直线l 与⊙O的位置有什么关系?根据什么? (3)由此你发现了什么? 直线与圆相切的判定定理:经过半径的外端并且垂直 这条半径的直线是圆的切线。如图所示,半径OA⊥ 直线l,直线l为⊙O的切线. 特征①:直线L经过半径OA的外端点A. 特征②:直线L垂直于半径OA. d = r 相切 感悟新知感悟新知 圆的切线的判定方法: (1)概念:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线; (2)数量关系:到圆心的距离等于半径的直线是圆的 切线; (3)判定定理:经过半径的外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线. 总结归纳总结归纳 例1 已知:如图, A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C, 点B在圆上,且AB=BC,∠A= 30°.求证:直线AB是⊙O的 切线. 连结OB. ∵OB=OC, AB=BC,∠A=30°, ∴∠OBC=∠C=∠A=30°, ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°. ∵∠ABO=180°-(∠AOB+∠A) =180°- (60°+30°)=90°, ∴AB⊥OB, ∴AB为⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线). 证明: ∵OA=OB=5,AB=8, ∴AC=BC=4. ∴在Rt△AOC中,OC=3. 又∵⊙O的直径长为6, ∴OC=半径r, ∴直线AB是⊙O的切线. 证明:过点O作OC⊥AB. C 无交点,作垂直,证d=r 如图,已知OA=OB=5,AB=8,⊙O的直径为6. 求证:AB与⊙O相切. B O A 有交点,连半径,证垂直 练习练习 实际应用 例2 如图,台风中心P(100,200)沿北偏东30°方向移 动,受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市 A(200,380),B(600,480),C(550,300), D(370,540)中,哪些受到这次台风影响,哪些不受 到这次台风影响? 合作学习合作学习 AO T ① OA与AT垂直吗?问: 已知直线AT切⊙O于点A(切点),连结OA,则OA是半径. 经过切点的半径垂直于圆的切线 ②过点A作AT的垂线,垂线过点O 吗? 问: 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 圆的切线的性质: 经过切点的半径垂直于圆的切线. 拓展: (1)切线和圆只有一个公共点. (2)圆心到切线的距离等于半径. (3)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (4)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心. 总结归纳总结归纳 (判定垂直) (判定半径或直径) 例3 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径. 如图, 用角尺的较短边紧靠⊙O于点A, 并使较长边与⊙O相切 于点C, 记角尺的直角顶点为B, 量得AB=8cm, BC=16cm. 求⊙O 的半径. 连结过切点的半径是 常用的辅助线 O A B C D 解:连结OA,OC,过点A作AD⊥OC于点D. ∵AB⊥BC,AD⊥OC, ∴四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC,OD=OC-CD=OC-AB. 在Rt△ADO中, 即 解得r=20. ∵⊙O与BC相切于点C,∴OC⊥BC. 答: ⊙O的半径为20cm. 例4 已知:如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO交⊙O于点D. 连 结CD,OC.求证:∠ACD = ∠COD. 如图,作OE丄CD于点E, 则∠COE+ ∠OCE=90°. ∵ ⊙O与AB相切于点C, ∴OC丄AB (经过切点的半径垂直于圆的切线), 即∠ACD+ ∠OCE=90°. ∴∠ACD=∠COE. ∵△ODC是等腰三角形,OE⊥CD, ∴ ∠COE= ∠COD ∴∠ACD= ∠COD. 证明: 1.切线的判定定理。 2.判定一条直线是圆的切线的方法。 (1)定义:直线和圆有唯一的公共点。 (2)数量关系:直线到圆心的距离等于半径。 (3)判定定理:经过半径的外端且与这条半径垂直的直 线是圆的切线。 3.辅助线作法: (1)有公共点:作半径证垂直。 (2)无公共点:作垂直证半径。 课堂小结课堂小结 4. 切线的性质: 经过切点的半径垂直于圆的切线; 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 5. 切线性质的应用: 常用的辅助线是连接半径; 综合性较强,要联系许多其它图形的性质. 1. 如图,在等腰直角三角形ABC中,AB= AC=4, 点O为BC的中点,以点O为圆心作半圆O交BC于点M, N,半圆O与AB,AC相切,切点分别为 D,E,则半圆 O的半径和∠MND的度数分别为(  ) A.2;22.5° B.3;30° C.3;22.5° D.2;30° 课堂测试课堂测试 2. 如图,由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、 CD及BC的延长线于点E、F、G, ⊙O 是△CGF的外接圆; 求证:CE是⊙O的切线。 3. 如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D,E, 连结CD,CE.找出图中的一对相似三角形,并说明理由。 C BA O D E 若已知AC=4cm,⊙O的半径为3cm,能否求出图中其 它线段的长度? F 50° 1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线? 2、这样的切线能画出几条 ? 如下左图,借助三角板,我们可以画出PA是 ⊙O的切线。 3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数 130° 画一画画一画 O A B P 思考:已画出切线PA、PB,A、B为切点,则 ∠OAP= °,连接OP,可知A、B 除了在⊙O上,还 在怎样的圆上? 90 如何用圆规和直尺作出这两条切线呢? 尺规作图:过⊙O外一点作⊙O的切线. O · P A B 在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长. · O P A B 切线与切线长是一回事吗?它们有什么区别与联系呢 ? · · 切线和切线长是两个不同的概念: 1、切线是一条与圆相切的直线,不能度量; 2、切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆 外一点和切点,可以测量。 O P A B O A B P 思考:已知⊙O切线PA、PB,A、B为切 点,把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? 1 2 请证明你所发现的结论。 A PO B PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明:∵ PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点, ∴ OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°. ∵ OA=OB,OP=OP, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL), ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB. 试用文字语言 叙述你所发现 的结论 PA、PB分别切⊙O于点A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点引圆的 两条切线,它们的 切线长相等,圆心 和这一点的连线平 分两条切线的夹角。 几何语言: 反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了 新的方法 O P A B A PO B 若连结两切点A、B,AB交 OP于点M.你又能得出什么 新的结论?请给出证明. OP垂直平分AB 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点, ∴PA = PB,∠OPA=∠OPB, ∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线, ∴OP垂直平分AB. M A PO B 若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新 的结论?请给出证明. CA=CB 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点, ∴PA = PB,∠OPA=∠OPB, ∴PC=PC, ∴ △PCA ≌ △PCB,∴AC=BC. C 。 P B A O (3)连结圆心和圆外一点. (2)连结两切点; (1)分别连结圆心和切点; 反思:在解决有关圆的切 线长问题时,往往需要我 们构建基本图形。 (2)已知OA=3cm,OP=6cm,则∠APB= P A BC O 60°. (4)OP交⊙O于点M,则 ,AB OP.AM=BM M ⊥ 牛刀小试 (3)若∠P=70°,则∠AOB= °. 110 (1)若PA=4、PM=2,求圆O的半径OA. OA=3. 已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B, Q为AB上一点,过点Q作⊙O的切线,交PA、PB于点E、 F,已知PA=12CM,求△PEF的周长。 E A Q P F B O 易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB ∴PE+EQ=PA=12(cm) PF+FQ=PB=PA=12(cm )∴△PEF的周长为24cm· 探究:PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线 OP交于⊙O于点D、E,交AB于点C。 A (1)写出图中所有的垂直关系 P D C O E OA⊥PA,OB ⊥PB AB⊥OP (3)写出图中所有的全等三角形 △AOP≌△BOP, △AOC≌△BOC, △ACP≌△BCP (4)写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB (2)写出图中与∠OAC相等的角 B ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC · 例1、已知:P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A、B 为切点,BC是直径。 求证:AC∥OP P AC B DO 例题讲例题讲 解解 1.(口答)如图,PA、PB分别切圆O于点A、B,并与 圆O的切线分别相交于点C、D,已知PA=7cm, (1)求△PCD的周长. (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数. C · O P B D A E 例2 、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P,求证: AD+BC=AB+CD. D L M N A B C O P 证明:由切线长定理,得 ∴AL=AP,LB=MB,NC=MC, DN=DP, ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC 补充:圆的外切四边形的两组对边的和相等. 例3.如图,△ABC中,∠C =90º ,它 的内切圆O分别与边AB、BC、 CA相切于点D、E、F,且 BD=12,AD=8,求⊙O的半径r. O EB D C A F 练习2.如图,AB是⊙O的直径,AD、DC、BC 是切线,A、E、B为切点. (1)求证:OD ⊥ OC. (2)若BC=9,AD=4,求OB的长. OA B C D E · O A B C D E F OA B C D E 选做题:如图,AB是⊙O的直径,AD、DC、BC是 切线,A、E、B为切点,若BC=9,AD=4,求OE 的长. 1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线 长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 A P O。 B E C D ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B ,∴PA=PB ,∠OPA=∠OPB, OP垂直平分AB. 切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 2.我们学过的切线,常有 性质: (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)切线垂直于过切点的半径; (4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点; (5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 (6)从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 六个

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