第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种?
点到圆心的距离为d,圆的半径为r,
则:
点在圆外 d>r;
点在圆上 d=r;
点在圆内 d r
rd
∟
rd
∟
r
d
二、直线和圆的位置关系(用圆心到直线l 的距离d 与圆
的半径r 的关系来区分)
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与地平线
(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
a(地平线)
1、已知圆的直径为13cm,设直线和圆心的距离为d:
3)若d=8cm ,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.
1)若d=4.5cm ,则直线与圆 ,直线与圆有____个公共点.
3)若AB和⊙O相交,则 .
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据
条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 ;
2)若AB和⊙O相切, 则 ;
相交
相切
相离
d > 5cm
d = 5cm
0cm ≤d < 5cm 2 1 0
例:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以
C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什
么?
(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm. B
C A
4
3
分析:要了解AB与⊙C的位置关系,只要
知道圆心C到AB的距离d与r的关系.已
知r,只需求出点C到AB的距离d即可。 Dd
解:过点C作CD⊥AB,垂足为D
在△ABC中,
AB= 5
根据三角形的面积公式有
∴
即圆心C到AB的距离d=2.4cm
所以 (1)当r=2cm时,有d>r, 因此⊙C和AB相离。
B
C A
4
3
Dd
(2)当r=2.4cm时, 有d=r,
因此⊙C和AB相切。
(3)当r=3cm时,有d
相离相切相交
情境引入情境引入
动手操作:在⊙O中任取一点A,连结OA,过点A 作
直线l⊥OA .
思考:(可与同伴交流)
(1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系?
(2)直线l 与⊙O的位置有什么关系?根据什么?
(3)由此你发现了什么?
直线与圆相切的判定定理:经过半径的外端并且垂直
这条半径的直线是圆的切线。如图所示,半径OA⊥
直线l,直线l为⊙O的切线.
特征①:直线L经过半径OA的外端点A.
特征②:直线L垂直于半径OA.
d = r 相切
感悟新知感悟新知
圆的切线的判定方法:
(1)概念:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线;
(2)数量关系:到圆心的距离等于半径的直线是圆的
切线;
(3)判定定理:经过半径的外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线.
总结归纳总结归纳
例1 已知:如图, A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,
点B在圆上,且AB=BC,∠A= 30°.求证:直线AB是⊙O的
切线.
连结OB.
∵OB=OC, AB=BC,∠A=30°,
∴∠OBC=∠C=∠A=30°,
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°.
∵∠ABO=180°-(∠AOB+∠A) =180°- (60°+30°)=90°,
∴AB⊥OB,
∴AB为⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线).
证明:
∵OA=OB=5,AB=8,
∴AC=BC=4.
∴在Rt△AOC中,OC=3.
又∵⊙O的直径长为6,
∴OC=半径r,
∴直线AB是⊙O的切线.
证明:过点O作OC⊥AB.
C
无交点,作垂直,证d=r
如图,已知OA=OB=5,AB=8,⊙O的直径为6.
求证:AB与⊙O相切.
B
O
A
有交点,连半径,证垂直
练习练习
实际应用
例2 如图,台风中心P(100,200)沿北偏东30°方向移
动,受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市
A(200,380),B(600,480),C(550,300),
D(370,540)中,哪些受到这次台风影响,哪些不受
到这次台风影响?
合作学习合作学习
AO
T ① OA与AT垂直吗?问:
已知直线AT切⊙O于点A(切点),连结OA,则OA是半径.
经过切点的半径垂直于圆的切线
②过点A作AT的垂线,垂线过点O
吗?
问:
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
圆的切线的性质:
经过切点的半径垂直于圆的切线.
拓展:
(1)切线和圆只有一个公共点.
(2)圆心到切线的距离等于半径.
(3)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.
(4)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
总结归纳总结归纳
(判定垂直)
(判定半径或直径)
例3 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.
如图, 用角尺的较短边紧靠⊙O于点A, 并使较长边与⊙O相切
于点C, 记角尺的直角顶点为B, 量得AB=8cm, BC=16cm. 求⊙O
的半径.
连结过切点的半径是
常用的辅助线
O
A
B C
D
解:连结OA,OC,过点A作AD⊥OC于点D.
∵AB⊥BC,AD⊥OC,
∴四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,OD=OC-CD=OC-AB.
在Rt△ADO中,
即 解得r=20.
∵⊙O与BC相切于点C,∴OC⊥BC.
答: ⊙O的半径为20cm.
例4 已知:如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO交⊙O于点D. 连
结CD,OC.求证:∠ACD = ∠COD.
如图,作OE丄CD于点E,
则∠COE+ ∠OCE=90°.
∵ ⊙O与AB相切于点C,
∴OC丄AB (经过切点的半径垂直于圆的切线),
即∠ACD+ ∠OCE=90°.
∴∠ACD=∠COE.
∵△ODC是等腰三角形,OE⊥CD,
∴ ∠COE= ∠COD ∴∠ACD= ∠COD.
证明:
1.切线的判定定理。
2.判定一条直线是圆的切线的方法。
(1)定义:直线和圆有唯一的公共点。
(2)数量关系:直线到圆心的距离等于半径。
(3)判定定理:经过半径的外端且与这条半径垂直的直
线是圆的切线。
3.辅助线作法:
(1)有公共点:作半径证垂直。
(2)无公共点:作垂直证半径。
课堂小结课堂小结
4. 切线的性质:
经过切点的半径垂直于圆的切线;
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
5. 切线性质的应用:
常用的辅助线是连接半径;
综合性较强,要联系许多其它图形的性质.
1. 如图,在等腰直角三角形ABC中,AB= AC=4,
点O为BC的中点,以点O为圆心作半圆O交BC于点M,
N,半圆O与AB,AC相切,切点分别为 D,E,则半圆
O的半径和∠MND的度数分别为( )
A.2;22.5°
B.3;30°
C.3;22.5°
D.2;30°
课堂测试课堂测试
2. 如图,由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、
CD及BC的延长线于点E、F、G, ⊙O 是△CGF的外接圆;
求证:CE是⊙O的切线。
3. 如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D,E,
连结CD,CE.找出图中的一对相似三角形,并说明理由。
C BA
O
D
E
若已知AC=4cm,⊙O的半径为3cm,能否求出图中其
它线段的长度?
F
50°
1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线?
2、这样的切线能画出几条
?
如下左图,借助三角板,我们可以画出PA是
⊙O的切线。
3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数
130°
画一画画一画
O
A
B
P
思考:已画出切线PA、PB,A、B为切点,则
∠OAP= °,连接OP,可知A、B 除了在⊙O上,还
在怎样的圆上?
90
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢?
尺规作图:过⊙O外一点作⊙O的切线.
O · P
A
B
在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线
段的长叫做这点到圆的切线长.
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗?它们有什么区别与联系呢
?
· ·
切线和切线长是两个不同的概念:
1、切线是一条与圆相切的直线,不能度量;
2、切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆
外一点和切点,可以测量。
O P
A
B
O
A
B
P
思考:已知⊙O切线PA、PB,A、B为切
点,把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?
1
2
请证明你所发现的结论。
A
PO
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
证明:∵ PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点,
∴ OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°.
∵ OA=OB,OP=OP,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL),
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB.
试用文字语言
叙述你所发现
的结论
PA、PB分别切⊙O于点A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的
两条切线,它们的
切线长相等,圆心
和这一点的连线平
分两条切线的夹角。
几何语言:
反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了
新的方法
O P
A
B
A
PO
B
若连结两切点A、B,AB交
OP于点M.你又能得出什么
新的结论?请给出证明.
OP垂直平分AB
证明:∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,
∴PA = PB,∠OPA=∠OPB,
∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线,
∴OP垂直平分AB.
M
A
PO
B
若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新
的结论?请给出证明.
CA=CB
证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点,
∴PA = PB,∠OPA=∠OPB,
∴PC=PC,
∴ △PCA ≌ △PCB,∴AC=BC.
C
。 P
B
A
O
(3)连结圆心和圆外一点.
(2)连结两切点;
(1)分别连结圆心和切点;
反思:在解决有关圆的切
线长问题时,往往需要我
们构建基本图形。
(2)已知OA=3cm,OP=6cm,则∠APB=
P
A
BC
O
60°.
(4)OP交⊙O于点M,则 ,AB OP.AM=BM
M
⊥
牛刀小试
(3)若∠P=70°,则∠AOB= °.
110
(1)若PA=4、PM=2,求圆O的半径OA. OA=3.
已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,
Q为AB上一点,过点Q作⊙O的切线,交PA、PB于点E、
F,已知PA=12CM,求△PEF的周长。
E
A
Q
P
F B
O
易证EQ=EA,
FQ=FB,PA=PB
∴PE+EQ=PA=12(cm)
PF+FQ=PB=PA=12(cm
)∴△PEF的周长为24cm·
探究:PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线
OP交于⊙O于点D、E,交AB于点C。 A
(1)写出图中所有的垂直关系 P D C O E
OA⊥PA,OB ⊥PB AB⊥OP
(3)写出图中所有的全等三角形
△AOP≌△BOP, △AOC≌△BOC, △ACP≌△BCP
(4)写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
(2)写出图中与∠OAC相等的角 B
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
·
例1、已知:P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A、B
为切点,BC是直径。
求证:AC∥OP
P
AC
B
DO
例题讲例题讲
解解
1.(口答)如图,PA、PB分别切圆O于点A、B,并与
圆O的切线分别相交于点C、D,已知PA=7cm,
(1)求△PCD的周长.
(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数.
C
· O
P
B
D
A
E
例2 、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P,求证:
AD+BC=AB+CD.
D
L
M
N
A B
C
O
P
证明:由切线长定理,得
∴AL=AP,LB=MB,NC=MC,
DN=DP,
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
补充:圆的外切四边形的两组对边的和相等.
例3.如图,△ABC中,∠C =90º ,它
的内切圆O分别与边AB、BC、
CA相切于点D、E、F,且
BD=12,AD=8,求⊙O的半径r.
O
EB
D
C
A
F
练习2.如图,AB是⊙O的直径,AD、DC、BC
是切线,A、E、B为切点.
(1)求证:OD ⊥ OC.
(2)若BC=9,AD=4,求OB的长.
OA B
C
D
E
·
O
A B
C
D
E
F
OA B
C
D
E
选做题:如图,AB是⊙O的直径,AD、DC、BC是
切线,A、E、B为切点,若BC=9,AD=4,求OE
的长.
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线
长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
A
P
O。
B
E C D
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B
,∴PA=PB ,∠OPA=∠OPB,
OP垂直平分AB.
切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂
直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
2.我们学过的切线,常有 性质:
(1)切线和圆只有一个公共点;
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径;
(3)切线垂直于过切点的半径;
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点;
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
(6)从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
六个