九年级数学下册第24章圆24-6正多边形与圆课件（沪科版）

第24章 圆 24.6 正多边形与圆 1. 正多边形的定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n 边形. 正多边形与圆有非常密切的关系，把一个圆分成n条相等 的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形. 如图24-56，点A,B,C,D,E把圆分成5等份，求证： ⑴ 依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形； ⑵ 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五 边形是这个圆的外切正五边形. A B C D E P Q R S T O 图 24-56 ⌒ ⌒ ⌒ 1 2 3 A B C D E 4 ⌒ ⌒ 5证明:(1）∵AB=BC=CD=DE=EA， ∴AB=BC=CD=DE=EA. ∵ = =3AB， ∴∠1=∠2. 同理，得∠2=∠3=∠4=∠5. 又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形. ⌒ ⌒⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （2）连接OA，OB，OC，则 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以点A，B，C 为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB. A B C D E P Q R S T O 又∵AB=BC，∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T， QR=RS=ST=TP=2PA. ⌒ ⌒ ∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. A B C D E P Q R S T O 由上可知，通过等分圆周的方法能作出正多边形. (1)用量角器等分圆周 由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个 圆中，先用量角器作一个等于360°/n的圆心角，这个 角所对的弧就是圆周 的1/n，然后在圆周上依次截取这 条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形 （正五角星就是这样作出的）. (2)用尺规等分圆周 对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规来等 分圆周. ① 正四边形的作法 如图24-57（1），用直尺和圆规作 ⊙O的两条互相垂直的直径，就可以把 ⊙O分成四等份，从而作出正四边形. 我们再逐次平分各边所对的弧，就 可以作出正八边形如图24-57（2），正 十六边形. 如图24-58（1），设⊙O的半径为R，通常先作出⊙O的一 条直径AB，然后分别以点A,B为圆心，R为半径作弧，与⊙O 交于点C,D,E,F，从而得到⊙O的6等份点，作出正六边形.如 果再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形，正二十 四边形等. 我们可以连续6等份圆周的相间的两个点，得到正三角形， 如图24-58（2）. ②正六边形的作法 如何画一个边长为2cm的正六边形？ 探究 O A B C D E F 1、以2cm为半径作一个⊙O ；2、用量角器画一个60°的圆心角； 3、在圆上顺次截取这个圆心角 所对的弧； 4、顺次连接分点，即为所求作的 正六边形. 将一个圆n等份，就可以作出这个圆的内接或外切正n边 形.反过来，是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切 圆呢？ 我们仍然以正五边形为例来进行探究. 2. 正多边形的性质 如图24-59，过正五边形ABCDE的顶 点A,B,C作⊙O，连接OA,OB,OC,OD,OE. ∵ OB=OC， ∴ ∠1=∠2. 又 ∵ ∠ABC=∠BCD,∴ ∠3=∠4. ∵ AB=DC,∴△OAB≌△ODC, ∴ OA=OD,即点D在⊙O上，同理，点E也在⊙O上． 所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．  由于正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，等弦的 弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半 径的圆与正五边形的各边都相切． 所以正五边形ABCDE还有一个以点O为圆心的内切圆 ． 1.正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上. 2.它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径． 3.其他两个顶点到圆心的距离都等于半径． 4.正五边形的各顶点共圆． 5.正五边形有外接圆． 6.圆心到各边的距离相等． 7.正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到 任意一边的距离． 8.照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接 圆和内切圆． 定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆 是同心圆． 归纳 我们把一个正多边形的外接圆(或内切圆)的公共圆心 圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形 的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边 形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边 所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形 的每个中心角都等于360°/n. 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对 称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心，如图24-60. 图 24-60 如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称 图形，它的中心就是对称中心. 例 求边长为a的正六边形的周长和面积. 解 如图24-61，过正六边形的中心O作OG⊥BC于点G， 连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C和S. 图 24-61 ∵ 多边形ABCDEF是正六边形， ∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形， ∴ C=6BC=6a. 在△BOC中，有 1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的________．． 2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD 的______． 3、若正六边形的边长为1，则正六边形的中心角是______度， 半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______ ． 4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等． 11、正、正nn边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是 ;;中心角是中心角是 _________;_________; ２、正多边形的中心角与外角的大小关系是２、正多边形的中心角与外角的大小关系是________.________.相等相等 3、正方形ABCD的外接圆圆心O叫 做正方形ABCD的_______. 4、正方形ABCD的内切圆的半径OE 叫做正方形ABCD的_________. 中心 边心距 .O A B C D E O