4 整式的乘法
第3课时
【知识再现】
单项式与多项式相乘,就是根据分配律,用单项式去乘
多项式的每一项,再把所得的积相加.
【新知预习】阅读教材P18【议一议】,解决以下问题:
在(2x+y)(3a-2b)中若将(2x+y)看作一个整体,可利用
单项式与多项式相乘的法则得__________________
_________,进而得____________________.
(2x+y)·3a-(2x+
y)·2b 6ax+3ay-4bx-2by
【结论】多项式与多项式的乘法法则
(1)语言叙述:多项式与多项式相乘,先用一个多项式
的___________乘另一个多项式的___________,再把所
得的积相加.
(2)字母表示:(m+n)(a+b)=________________.
每一项 每一项
ma+mb+na+nb
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.(x-a)(x2+ax+a2)的计算结果是 ( )
A.x3+2ax+a3
B.x3-a3
C.x3+2a2x+a3
D.x2+2ax2+a3
B
2.计算:(a-2)(a-1)=___________. a2-3a+2
知识点一 多项式与多项式相乘(P18例3补充)
【典例1】计算:
(1)(3a+2)(4a-1).
(2)(3m-2n+2)(3m+2n+2).
(3)(y-2)(y2+2y+4)-(y2+1)(y-1).
【自主解答】(1)(3a+2)(4a-1)
=12a2-3a+8a-2=12a2+5a-2.
(2)(3m-2n+2)(3m+2n+2)
=9m2+6mn+6m-6mn-4n2-4n+6m+4n+4
=9m2+12m-4n2+4.
(3)(y-2)(y2+2y+4)-(y2+1)(y-1)
=y3+2y2+4y-2y2-4y-8-(y3-y2+y-1)
=y3-8-y3+y2-y+1=y2-y-7.
【学霸提醒】
多项式乘以多项式的三点注意
1.相乘时,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏.
2.多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之
前,积的项数应等于原多项式的项数之积.
3.相乘后,若有同类项应该合并.
【题组训练】
1.(2019·武汉模拟)计算(a+3)(a-4)的结果是 ( )
A.a2-12 B.a2+12
C.a2-a-12 D.a2+a-12
C
★2.(2019·上海宝山区月考)(2a-3b)·(3a-2b)的结
果是 ( )
A.6a2-9ab+6b2 B.6a2-6b2
C.6a2+6b2 D.6a2-13ab+6b2
D
★3.计算:(-2x-3)(-2x+3)=_________. 4x2-9
★★4.计算:(1)(2x+5y)(3x-2y).
(2)(a+b)(a2-ab+b2).
解:(1)(2x+5y)(3x-2y)=6x2+15xy-4xy-10y2
=6x2+11xy-10y2.
(2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3=a3+b3.
知识点二 多项式与多项式相乘的应用
(P18例3拓展)
【典例2】(2019·重庆沙坪坝区月考)
若(2x2-mx+6)(x2-3x+3n)的展开式中x2项的系数为9,
x3项的系数为1,求m-n的值.
【尝试解答】(2x2-mx+6)(x2-3x+3n)
=2x4-6x3+6nx2-mx3+3mx2-3mnx+6x2-18x+18n,
…………多项式乘多项式
=2x4-(________)x3+(____________)x2-(3mn+18)x+18n,
…………合并同类项
m+6 6n+3m+6
因为展开式中x2项的系数为9,x3项的系数为1,
所以____________=9,___________=1.
…………列方程
解得m=_______,n=______. …………解方程
所以m-n=_________=________. …………代入求值
6n+3m+6 -(m+6)
-7 4
-7-4 -11
【学霸提醒】
求多项式乘法中相关字母的值的两种题型及思路
1.在包含多项式乘多项式的等式中,要确定相关字母
的值:应先计算多项式乘多项式,化简后与已知多项式
对照,对应的系数相等,进而求出相关字母的值.
2.结果中“不包含某项”,要确定相关字母的值:
先计算多项式乘多项式,然后把相关字母看作已知数,
合并同类项,“不包含”的项的系数为0,进而确定相
关字母的值.
【题组训练】
1.(2019·黄石下陆区期末)若(x+4)(x-2)=x2+mx+n,
则m,n的值分别是 ( )
A.2,8 B.-2,-8
C.2,-8 D.-2,8
C
★2.已知a+b=4,ab=3,则代数式(a+2)(b+2)的值是( )
A.7 B.9 C.11 D.15
D
★3.(2019·福州期末)已知x2+3x-5=0,则x(x+1)(x+
2)(x+3)的值是_______. 35
★4.已知:a+b=4求代数式(a+1)(b+1)-ab的值.
解:原式=ab+a+b+1-ab=a+b+1,
当a+b=4时,原式=4+1=5.
★★5.(生活情境题)如图,长为10 cm,宽为6 cm的长
方形,在4个角剪去4个边长为x cm的小正方形后,按折
痕做成一个有底无盖的长方体盒子,试求盒子的体积.
世纪金榜导学号
解:根据题意可得:长方体盒子的长为(10-2x)cm,宽为
(6-2x)cm,高为x cm.
所以长方体盒子的体积V=(10-2x)·(6-2x)·x
=(4x2-32x+60)x=(4x3-32x2+60x)cm3.
答:盒子的体积为(4x3-32x2+60x)cm3.
【火眼金睛】
计算:(2x-3y)(3x-4y).
【正解】原式=2x·3x-2x·4y-3y·3x+3y·4y
=6x2-8xy-9xy+12y2=6x2-17xy+12y2.
【一题多变】
你能化简(x-1)(x99+x98+…+x+1)吗?遇到这样的复杂
问题时,我们可以先从简单的情形入手.然后归纳出一
些方法.
(1)分别化简下列各式:
(x-1)(x+1)=________;
(x-1)(x2+x+1)=________;
(x-1)(x3+x2+x+1)=________;
…
(x-1)(x99+x98+…+x+1)=________.
(2)请你利用上面的结论计算:
299+298+…+2+1.
解:(1)(x-1)(x+1)=x2-1;
(x-1)(x2+x+1)=x3-1;
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;
…
(x-1)(x99+x98+…+x+1)=x100-1.
答案:x2-1 x3-1 x4-1 x100-1
(2)299+298+…+2+1=(2-1)×(299+298+…+2+1)=2100-1.
【母题变式】
【变式一】(1)计算:(x+1)(x+2)=__________,
(x-1)(x-2)=________________,
(x-1)(x+2)=________________,
(x+1)(x-2)=________________.
(2)你发现(1)小题有何特征,会用公式表示出来吗?
(3)已知a,b,m均为整数,且(x+a)(x+b)=x2+mx+12,则m
的可能取值有多少个?
解:(1)(x+1)(x+2)=x2+3x+2,(x-1)(x-2)=x2-3x+2,
(x-1)(x+2)=x2+x-2,(x+1)(x-2)=x2-x-2.
(2)可以发现题(1)中,左右两边式子符合(x+p)(x+q)=
x2+(p+q)x+pq结构.
(3)因为12可以分解以下6组数,12=1×12,2×6,3×4,
(-1)×(-12),(-2)×(-6),(-3)×(-4),所以m=a+b应
有6个值.
【变式二】探究应用:
(1)计算:(x+1)(x2-x+1)=________;
(2x+y)(4x2-2xy+y2)=__________.
(2)上面的乘法计算结果很简洁,你发现了什么规律
(公式)?用含a,b的字母表示该公式为:___________
______________.
x3+1
8x3+y3
(a+b)(a2-
ab+b2)=a3+b3
(3)下列各式能用第(2)题的公式计算的是______.
A.(m+2)(m2+2m+4)
B.(m+2n)(m2-2mn+2n2)
C.(3+n)(9-3n+n2)
D.(m+n)(m2-2mn+n2)
C
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