九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1-5三角函数的应用

5　三角函数的应用 6　利用三角函数测高【知识再现】 解直角三角形：指已知一边一角或两边，求除直角外 的其他元素.【新知预习】 阅读教材P19-P23，解决下列问题1.方位角：如图，点A在点O的北偏东_________方向； 点B在点O的___________45°方向；  点C在点O的______________方向；点D在点O的_______ _________方向.  题目中点O是观测点，故点O为方向坐标的原点. 　60°　 　南偏东　 　南偏西80°　 　北偏 西30°　你的结论：(1)描述一点在另一个点的位置时，通常写 为南(北)偏东(西)多少度.如在点P观测，就以点P建立 方向坐标.(2)方位角：在水平面上，过观测点O作一条水平线(向 右为东方)和一条铅垂线(向上为北方)，则从O点出发 的_________与___________________的夹角叫做观测 的方位角.  　视线　 　水平线或铅垂线　2.仰角与俯角定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上 方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.3.测量物体高度需要的工具 测量物体的高度要用到___________(或经纬仪、测角 仪等)、_________等测量工具.  　测倾器　 　皮尺　【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧！ 1.渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东 方向航行了12 n mile到达B处，在B处看到灯塔C在正北方 向上，这时渔船与灯塔C的距离是 (　 　) A.6 n mile B.8 n mile C.2 n mile D.4 n mile D2.如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观 测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处 行驶到C处所用的时间为4秒.若∠BAC=α，则此车的速度为 (　 　) A.5tan α米/秒 B.80tan α米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 A3.从高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲 处的仰角为_________. 　30°　知识点一　与方位角有关的问题(P21习题1.6T4变式) 【典例1】如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、 B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、 在码头B的北偏西45°方向，AC =4 km.求码头A，B之间的距离. (结果保留根号)【规范解答】如图，作CD⊥AB于点D. …………作辅助线，得直角三角形 ∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°-60°=30°， ∴CD=AC·sin∠CAD=4× =2(km)，AD=AC·cos∠CAD=4× (km). …………解直角三角形 ∵在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=45°， ∴BD=CD=2(km)， ………… 解直角三角形 ∴AB=AD+BD=2 +2(km). …………线段的和差【学霸提醒】 运用三角函数解决实际问题的“三步法”【题组训练】 1.(2019·深圳模拟)如图，某学校数学课外活动小组 的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之 间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得 AC=75米，∠ACB=55°，那么A和B之间的距离是 (　 　)CA.75·sin 55°米 B.75·cos 55°米 C.75·tan 55°米 D. 米★2.(2019·济宁市微山一模)如图，港口A在观测站O的正东 方向，OA=2km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行 一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东 60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为 世纪金榜导学 号(　 　) A.2 km B. km C. km D.( +1)km C★3.如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测 得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近， 则还需向西航行 (　 　) A.10( +1)海里 B.10( -1)海里 C.20( +1)海里 D.20( -1)海里 A★★4.我国海域辽阔，渔业资源丰富.如图，现有渔船 B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北 偏东45°方向上.在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北 偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北 方向18(1+ )n mile处，则海岛A，C之间的距离为　 ________n mile. 知识点二 测量物体的高(P25复习题P10“补充”) 【典例2】(2019·淮安市洪泽区一模)如图，小明在一块平 地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山 脚直行60米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高 AD的长度.(测角仪高度忽略不计)【规范解答】由题意得，∠ABD=30°，∠ACD=45°， BC=60 m …………确定已知条件 设AD=x m …………设未知数 在Rt△ACD中，∵tan∠ACD= ∴CD= ……………………解直角三角形在Rt△ABD中，∵tan∠ABD= ∴BD= ∴BD= x …………解直角三角形 ∵CD=BD-BC，∴x= x-60 …………列方程 解得，x=30( +1)米 …………解方程 答：山高AD为30( +1)米. …………作答【学霸提醒】 与测量有关的常见图形与关系式 图 形 关 系 式 BD=CE， AC=BC·tan α， AE=AC+CE BD=BC-DC=AC· AG=AC+CG=AC+BE 图 形 关 系 式 BC=DC-BD =AD·(tan α- tan β) BC=BD+DC=AD· 【题组训练】 1.(2019·苏州中考)如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的 高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m 的地面上，若测角仪的高度为1.5 m，测得教学楼的顶部A处 的仰角为30°，则教学楼的高度是 (　 　) A.55.5 m B.54 m C.19.5 m D.18 m C★2.(2019·杏花岭区月考)如图，某幼儿园为了加强 安全管理，决定将园内滑梯的倾斜角由45°降为 30°，已知点D，B，C在同一水平地面上，且BD的长 为2米，则改造后滑梯的长度AD是___________米.(保 留根号)  　2 +2　★3.如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当 火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离 是40 km，仰角是30°.n秒后，火箭到达B点， 此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是　 _____________km. 世纪金 榜导学号  (20 -20)　★4.(2019·天津中考)如图，海面上一艘船由西向东航 行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为 31°，再向东继续航行30 m到达B处，测得该灯塔的最高 点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高 度CD(结果取整数). 参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31° ≈0.86，tan 31°≈0.60.解：在Rt△CAD中，tan∠CAD= 则AD= 在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴BD=CD， ∵AD=AB+BD，∴ CD=CD+30，解得CD=45. 答：这座灯塔的高度CD约为45 m.【火眼金睛】如图，飞机飞行高度BC为1 500 m，飞行 员看地平面指挥塔A的俯角为α，则飞机与指挥塔A的 距离为(　　) A. m B.1 500sin α m C. m D. m正解：选A.在Rt△ABC中，∵俯角是α，∴∠A=α， ∴sin α 【一题多变】 如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC.小亮在B处观察旗 杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角 为30°，楼高BD为20米. (1)求∠BCD的度数. (2)求旗杆AC的高度.解：(1)过点C作CE⊥BD于点E，则DF∥CE，AB∥CE. ∵DF∥CE，∴∠ECD=∠CDF=30°. 同理∠ECB=∠ABC=45°， ∴∠BCD=∠ECD+∠ECB=75°.(2)在Rt△ECD中，∠ECD=30°， ∵tan∠ECD= ∴DE=CE·tan∠ECD= CE， 同理BE=CE，∵BD=BE+DE， ∴20=CE+ CE，CE= =10(3- )(米)， ∴AC=10(3- )米.答：(1)∠BCD为75°. (2)旗杆AC的高度为10(3- )米.【母题变式】 【变式一】(变换条件)如图，两根竹竿AB和AC斜靠在墙BD 上，量得∠ABD=37°，∠ACD=45°，BC=50 cm，求竹竿AB 和AC的长(结果精确到0.1 cm). 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37° ≈0.80，tan 37°≈0.75， ≈1.41.解：设AD=x cm.由题意可得：AD=DC=x cm， 故tan 37°= =0.75， 解得：x=150，故AD=CD=150(cm)， 则AC=150 ≈211.5( cm)，则BD=200 cm， 故sin 37°= =0.60，解得：AB=250.0 cm， 答：竹竿AB的长为250.0 cm，AC的长为211.5 cm.【变式二】(变换结论)如图，天星山山脚下西端A处与东 端B处相距800(1+ )米，小军和小明同时分别从A处和B 处向山顶C匀速行走.已知山的西端的坡角是45°，东端的 坡角是30°，小军的行走速度为 米/秒.若小明与 小军同时到达山顶C处，则 小明的行走速度是______米/秒. 　1