A B
C
D
六角螺母
定义1:不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线.
注:概念应理解为:
“经过这两条直线无法作出一个平面” .
或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”
. 定义2:不相交也不平行两条直线叫做 异面
直线.
注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定
是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.
一、异面直线:
异面直线的画法:
A
b
a
b
a
b
a
用平面衬托
A1 B1
C1D1
C
B
D
A
练习:如图:正方体的棱所在的直线中,
与直线A1B异面的有哪些?
答案:
D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
二、空间两直线的位置关系:
(1)从公共点的数目来看,可分为:
①有且只有一个公共点——两直线相交
②没有公共点
两直线平行
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲,可分为:
两直线相交
①在同一平面内
两直线平行
②不在同一平面内——两直线为异面直线
问题:在同一平面内,平行于同一条直
线的两直线平行,在空间中此结论仍成
立吗?
若a∥b,b∥c, 则a∥c
c
a
b
α
公理4:平行于同一条直线的两条直线
互相平行.(空间平行直线的传递性)
空间四边形:
如图,顺次连结不共面的四点A、B、C、D
所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A
B
C
D
相对顶点A与C,B与D的
连线AC、BD叫做这个空
间四边形的对角线.
例1:已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内
的空间四边形,E,F,G,H分别是AB,BC,
CD,DA的中点,连结EF,FG,GH,HE,
求证:四边形EFGH是平行四边形.
解题思想:
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = BD
同理,FG ∥BD且FG = BD
∴EH ∥FG且EH =FG
∴四边形EFGH是平行四边
形
证明: 连结BD
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法.
A
B
D
E
F
G
H
C
问题:在空间中,如果一个角的两边
和另一个角的两边分别平行,那么这
两个角相等吗?
α
β
方向相同或相反,结果如何?
α
β γ
一组边的方向相同,而另一组边的
方向相反,又如何?
α
β
等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对
应平行,那么这两个角相等或互补.
推论:如果两条相交直线和另两条
相交直线分别平行,那么这两组直
线所成的锐角(或直角)相等.
在平面内,两条直线相交成
四个角, 其中不大于90度的角称为
它们的夹角, 用以刻画两直线的错
开程度, 如图.
在空间,如图所示, 正
方体ABCD-EFGH中, 异
面直线AB与HF的错开程
度可以怎样来刻画呢?
A B
G
F
H
E
D C
O
三、异面直线所成角:
平
移
法
O
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线
a,b ,经过空间任一点O作直线a′∥a ,b ′∥b
则把a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直
线所成的角(或夹角).
a
bb ′
a′
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]oo
如果两条异面直线
a , b 所成的角为直
角,我们就称这两
条直线互相垂直 ,
记为a ⊥ b
a ″
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变?
b ′
a′
O ∠1
a
a″
b
∠2
在求作异面直线所成
的角时,O点常选在其中
的一条直线上 (如线段
的端点,线段的中点等)
45o
例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数.
找两条异面直线所成的角,要作平行移动(平行线),把两条异面
直线所成的角,转化为两条相交直线所成的角.
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直?
如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB = ,
AD = ,AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
解答:
(1)∵GF∥BC
∴∠EGF(或其补角)为所求.
Rt△EFG中,求得∠EGF = 45 o
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG(或其补角)为所求,
Rt△BFG中,求得∠FBG = 60 o
A B
G
F
H
E
D C2
A
F
E
D
CB
如图,在四面体ABCD中,E,F分
别是棱AD,BC上的点,且
已知AB=CD=3, ,求异面直线AB和
CD所成的角.
M
一作(找)、二证、三求
(1)通过直线平移,作出异面直线
所成的角,把空间问题转化为
平面问题.
(2)利用平面几何知识,
求出异面直线所成角的大小.
异面直线所成角的求法:
在正方体ABCD-A’B’C’D’中,棱长为a,
E、F分别是棱A’B’,B’C’的中点,求:
①异面直线 AD与 EF所成角的大小;
②异面直线 B’C与 EF所成角的大小;
③异面直线 B’D与 EF
所成角的大小.
平
移
法
O
G
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D
B’D 与EF所成的角
即为AC与OG所成的角,
即为∠AOG或其补角.
探究:
H
G
C A
D B
E
F
G
H
E
F(B)
(C)
DA
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的
直线是异面直线的有几对?
相交直线有几对?
平行直线有几对?
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线.异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
小结
公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.
异面直线的求法: 一作(找)二证三求
空间中,如果两个角的两边分别对应平行,
那么这两个角相等或互补.等角定理:
异面直线的画法 用平面来衬托
异面直线所成的角 平移,转化为相交直线所成的角
作业: 完成教材相关练习和《学海导航》
1、一条直线与两条异面直线中的一条相交,
那么它与另一条之间的位置关系是( )
A、平行 B、相交
C、异面 D、可能平行、可能相交、可能异面
2、两条异面直线指的是( )
A、没有公共点的两条直线
B、分别位于两个不同平面的两条直线
C、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
D、不同在任何一个平面内的两条直线
备选练习:
3、下列命题中,其中正确的是( )
(1)若两条直线没有公共点,则这两条直线互相平行
(2)若两条直线都和第三条直线相交,那么这两条直线互相平行
(3)若两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行
(4)若两条直线都和第三条直线异面,那么这两条直线互相平行
4、三个平面两两相交,所得的三条交线( )
A、交于一点 B、互相平行
C、有两条平行 D、或交于一点或互相平行
A
cB
D
HE
F
G
1.已知四边形ABCD是空间四边形,E、H
分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、
CD上的点,且 = = .
求证:四边形EFGH有一组对边平行但不相等
CF
CB
CG
CD
2
3
A
B
C
D E
P
M N
2.如图,P是△ABC所在平面外一点,D、E分
别是△PAB和△PBC的重心.
求证:DE∥AC,DE= AC1
3
3.下图长方体中
平行
相交
异面
② BD 和FH是 直线
① EC 和BH是 直线
③BH 和DC是 直线
BA
CD
E F
H G
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?4
分别是 :CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
(1)说出以下各对线段的位置关系?
A B
G
F
H
E
D C
4.如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中
心,求(1)BE与CG所成的角?
(2)FO与BD所成的角?
解: (1)如图: ∵BF∥CG,∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角,
又 BEF中∠EBF =45 , 所以BE与CG所成的角是45oo
O
连接HA、AF,
依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 o
(2)连接FH,
所以FO与BD所成的夹角是30o
∴四边形BFHD为平行四边形,∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
∵HD EA,EA FB ∴HD FB∥= ∥= ∥=
则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△