高中数学必修42.5.1平面几何中的向量方法ppt课件

2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 1.能运用向量的知识解决一些简单的平面解析几何问题; 2.利用数量积解决长度、角度、垂直等问题; 3.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、角度、垂 直等问题. 用有向线段表示向量，使得向量可以进行线性运算 和数量积运算，并具有鲜明的几何背景，从而沟通了平 面向量与平面几何的内在联系 ，在某种条件下 ，平面 向量与平面几何可以相互转化. 1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 对角线长度的平方=两邻边的平方和 平行四边形有类似的数量关系吗？ 探究一（长度问题） 思考1 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2， AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？ A B CD 确定 思考2 设向量 则向量 等于什么？ 向量 等于什么？ 例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型， 如图， 平行四边形对角线的长 度与两条邻边长度之间有何关系？ A B CD 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长 的平方和的两倍. 如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？ （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 提升总结 例2 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ A B D E F R T C猜想：AR=RT=TC 由于 与 共线，故设 因为 又因为 共线， 所以设 因为 所以 利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基 本定理，将问题转化为求m、n的值，是处理线段长度关 系的一种常用手段. 提升总结 例3 若正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的 中点，试求 A BC O 解：以O为坐标原点，以OA、OC所在 的直线为坐标轴建立如图所示的直角 坐标系， 分析：建立坐标系，利用向量的坐 标运算求夹角. 探究二（角度问题） E D 建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式， 可使的思路明确，过程简洁. 提升总结 A B C O 3.如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点. 求证∠ACB=90°. 分析：要证∠ACB=90°，只需证向 量 ，即 证明：设 则 由此可得： 即 ，∠ACB=90°. A B C O 1.向量解决几何问题； 2.利用向量运算解决几何长度、角度、垂直问题.