高中数学必修22.1.3空间中直线与平面之间的位置关系PPT课件

2．1.3 空间中直线与平面之间的 位置关系 2．1.4 平面与平面之间的位置关 系 一、阅读教材P48～50，填空： 1．如果一条直线和一个平面 ，那么我 们就说这条直线和这个平面平行． 没有公共点 2．直线与平面的位置关系 位置 关系 公共点个 数 图形 符号表 示 直线在 平面内 无数个 α⊂α 直线与 平面相 交  一个 a∩α＝A 直线与 平面平 行  无公共点 a∥α 3.直线a在平面α外，是指直线a和平面α 或 ． 4．两平面平行的定义： ； 相交 平行 如果两个平面没有公共点， 那么这两个平面平行 5．两平面的位置关系 位 置 关 系 图示 公共点情况 符 号 表 示 相 交 无数个公共 点在同一条 直线上，即 交线 α∩β ＝a 平 行 无公共点 α∥ β 二、回答下列问题 1．过平面α外一点P可作________条直线与平面α平行； [答案] 无数条 2．判断下列命题是否正确． (1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平 面平行； (2)过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行； (3)如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直 线都不相交． [解析] (1)错，当直线与平面相交时，直线不在平面 内． (2)正确． (3)正确，当直线与平面平行时，直线与平面无公共点， 故与平面内的任何直线都无公共点． 本节学习重点：直线、平面与平面的位置关系． 本节学习难点：两条直线与同一平面的位置关系和相 交平面的画法． 证明直线在平面内并不用“有无数公共点”，而应用公 理1，只要有两个公共点即可．若直线l∥平面α，则在平面 α内存在无数条直线与l平行；若a是α内任意一条直线，则l 与a一定无公共点，故l与a平行或异面，即不一定有l∥a； 若直线a∥平面α，直线b∥平面α时，a与b可能平行， 也可能相交或异面． 若直线a∥平面α，b∥a时，可能有b∥α，也可能有 b⊂α. [例1] 下列命题 (1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； (2)若直线a在平面α外，则a∥α； (3)若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α； (4)若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的 无数条直线． 其中真命题的个数为 (  ) A．1         B．2 C．3 D．4 [解析] 对于(1)，∵直线l虽与平面α内无数条直线平 行，但l有可能在平面α内， ∴l不一定平行于α.∴(1)是假命题． 对于(2)，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α 和a与α相交，∴a和α不一定平行．∴(2)是假命题． 对于(3)．∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共 点，但a可能在平面α内， ∴a不一定平行于α.∴(3)是假命题． 对于(4)，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α， ∴a可以与平面α内的无数条直线平行．∴(4)是真命题 ．综上，真命题的个数为1个．∴应选A. 下列命题中，a、b、l表示直线，α表示平面． ①若a∥α，b∥α，则a∥b； ②若a∥b，b∥α，则a∥α； ③若a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，则a∥b； ④若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交， 则l∥α. 其中正确的命题有 (  ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 [答案] A [解析] 两直线a，b都平行于平面α时，这两条直线可 能相交，也可能平行或异面，故①错；如图(1)满足a∥b， b∥α，但a在平面α内，故②错；如图(2)满足a⊂α，b⊄α，a 与b不相交，但a与b不平行，故③错；如图(3)满足a⊂α， b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l与a、b均不相交，但l与α相交， 故④错，因此选A. [例2] 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直 线互相平行，那么这两个平面的位置关系是(  ) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 [解析] 如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相 交的情形．∴应选C. 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a与平面β的位 置关系为________． [答案] a∥β [解析] ∵α∥β，∴α与β无公共点， ∵a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β. [例3] 画出两种不同位置的两个相交平面． [解析] 常见的有以下几种不同位置(只要画出两个就 行) [例4] 平面α外一条直线a平行于平面α内一条直线b， 求证a∥α. [分析] 可由线面平行的定义，直接证明直线a与平面 α无公共点；或用反证法否定直线a与平面α相交，即如果a 与α相交，就会导出与直线的平行公理矛盾，或与平面的基 本性质矛盾，或与已知条件a∥b矛盾，或与空间点共面或 平面重合矛盾等等． [解析] 证法1：∵a∥b，且b⊂α， ∴由a，b确定的平面β与平面α交于直线b. ∴平面β内除b上的点外都不在平面α内． ∵a，b无公共点， ∴a上所有的点都不在平面α内．∴a∥α. 证法2：∵a⊄α，∴a∥α或a∩α＝A. 若a∩α＝A， ∵a∥b，∴A点不在直线b上． 在α内过A点作直线c∥b， ∵a∥b，∴a∥c. 这与a，c相交于A点相矛盾． ∴a与α相交不可能．∴a∥α. 证法3：假设直线a与平面α相交于A点． ∵a∥b，∴A∉b. ∵a，b确定的平面β与由b及点A确定的平面α都经过直 线b与点A，∴α与β重合． ∴a⊂α.与题设a⊄α矛盾．∴a∥α. 证法4：假设直线a与平面α相交于点A. 在a上另外取一点B，则点B在α外． 在直线b上任取两点C、D，连BC、AD. ∵a∥b，∴A、B、C、D四点共面， ∵经过不共线三点A、C、D有且仅有一个平面α， ∴四点A、B、C、D共面于α，这与B∉α矛盾，故假设 错误．∴a∥α. 求证：两条平行线中的一条与一个平面相交，则另一 条也与该平面相交． [解析] 已知：直线a∥b，a∩平面α＝P，如右图， 求证：直线b与平面α相交． 分析：a与b平行，可知a、b确定一个平面，设为β.平 面α和平面β有公共点P，因此必有一条交线l.b与l有公共点， 因此b与平面α也有公共点． 证明：∵a∥b，∴a和b确定一平面，设为β. ∵a∩α＝P，a⊂β ∴平面α和平面β相交于过P点的一条直线，设为l. ∵在平面β内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交， ∴l必与b相交，设交点为Q 又∵b不在平面α内(若b在α内，则b是α与β的交线， ∴b与l重合，又l∩a＝P，∴b∩a＝P与b∥a矛盾)，故直线b 和平面α相交． 总结评述：证明直线和平面相交的方法有： (1)反证法：即否定直线在平面内，否定直线与平面平 行． (2)证明直线与平面只有一个公共点． 1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 (  ) A．惟一一条直线不相交 B．仅两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交 [答案] D [解析] 根据直线和平面平行定义，易知排除A、B. 对于C，无数条直线可能是一组平行线， ∴C表达不确切，应排除C. 与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与 平面α平行，∴D正确． 2．下列四个命题中假命题的个数是(  ) ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行 ②两条直线没有公共点，则这两条直线平行 ③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行 ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则 这条直线和这个平面平行． A．4    B．3    C．2    D．1 [答案] A [解析] ①两条直线平行、相交或异面 ②平行或异面 ③平行、相交或异面 ④无数条≠任意一条，当直线在平面内时，平面内有无 数条直线与这条直线无公共点．∴①②③④均为假命题． 3．若三个平面两两相交，则它们交线的条数是(  ) A．1 B．2 C．3 D．1或3 [答案] D