高中数学必修22.1.2空间中直线与直线之间的位置关系PPT课件

A B C D 六角螺母 定义1:不同在任何一个平面内的两条直线叫做 异面直线. 注：概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” . 或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”． 定义2:不相交也不平行两条直线叫做 异面直线. 注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行. 一、异面直线: 异面直线的画法: A b a b a b a 用平面衬托 A1 B1 C1D1 C B D A 练习：如图：正方体的棱所在的直线中， 与直线A1B异面的有哪些？ 答案： D1C1、C1C、CD、 D1D、AD、B1C1 二、空间两直线的位置关系： (1)从公共点的数目来看，可分为： ①有且只有一个公共点——两直线相交 ②没有公共点 两直线平行 两直线为异面直线 (2)从平面的性质来讲，可分为： 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线 问题：在同一平面内，平行于同一条直 线的两直线平行，在空间中此结论仍成 立吗？ 若a∥b，b∥c, 则a∥c c a b α 公理4:平行于同一条直线的两条直线 互相平行.(空间平行直线的传递性) 例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间 四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中 点，连结EF，FG，GH，HE， 求证：四边形EFGH是平行四边形. 解题思想： ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴四边形EFGH是平行四边形 证明： 连结BD 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题 ——解立体几何时最主要、最常用的一种方法. A B D E F G H C 问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个 角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？ α β 方向相同或相反，结果如何？ α β γ 一组边的方向相同，而另一组边的 方向相反，又如何？ α β 等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或互补. 推论：如果两条相交直线和另两条 相交直线分别平行，那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等. 在平面内,两条直线相交成 四个角, 其中不大于90度的角称为 它们的夹角, 用以刻画两直线的错 开程度, 如图. 在空间,如图所示, 正 方体ABCD－EFGH中, 异 面直线AB与HF的错开程 度可以怎样来刻画呢? A B G F H E D C O 三、异面直线所成角： 平 移 法 O 异面直线所成角的定义: 已知两条异面直线a,b ,经过 空间任一点O作直线a′∥a ,b ′∥b 则把a ′与 b ′ 所成锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a bb ′ a′ 思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位 置不同时, 这一角的大小是否改变? 异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]oo 如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 , 记为a ⊥ ba ″ 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置 不同时, 这一角的大小是否改变? b ′ a′ O ∠1 a a″ b ∠2 在求作异面直线所成 的角时,O点常选在其中 的一条直线上 (如线段 的端点,线段的中点等) 45o 例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数. 找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线) ，把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成 的角. 例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？ 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB = , AD = ,AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?解答： (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 o (2) ∵BF∥AE ∴∠FBG（或其补角）为所求, Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o A B G F H E D C2 A F E D CB 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱 AD，BC上的点,且 ,已知 AB=CD=3， ,求异面直线AB和CD所成的 角. M 一作(找)、二证、三求 (1)通过直线平移，作出异面直线所成的 角，把空间问题转化为平面问题. (2)利用平面几何知识，求出异面直线所 成角的大小. 异面直线所成角的求法： 在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F 分别是棱A’B’，B’C’的中点，求： ①异面直线 AD与 EF所成角的大小； ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小； ③异面直线 B’D与 EF所成角的大小. 平 移 法 O G AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角. 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线.异面直线的定义: 相交直线 平行直线 异面直线 空间两直线的位置关系 小结 公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 异面直线的求法: 一作(找)二证三求 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补．等角定理： 异面直线的画法 用平面来衬托 异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角 １、一条直线与两条异面直线中的一条相交，   那么它与另一条之间的位置关系是（ ） Ａ、平行   Ｂ、相交 Ｃ、异面   Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面 ２、两条异面直线指的是（ ） Ａ、没有公共点的两条直线 Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线 备选练习： 3、下列命题中，其中正确的是（ ） （１）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行 （２）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行 （３）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 （４）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行 4、三个平面两两相交，所得的三条交线（ ） Ａ、交于一点   Ｂ、互相平行 Ｃ、有两条平行  Ｄ、或交于一点或互相平行 A cB D HE F G 1.已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形，Ｅ、Ｈ    分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，Ｆ、Ｇ分别是边ＣＢ、  ＣＤ上的点，且   ＝   ＝  .  求证：四边形ＥＦＧＨ有一组对边平行但不相等 ＣＦ ＣＢ ＣＧ ＣＤ ２ ３ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｐ Ｍ Ｎ 2.如图，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ、Ｅ分    别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心.    求证：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ ＡＣ１ ３ 3.下图长方体中 平行 相交 异面 ② BD 和FH是 直线 ① EC 和BH是 直线 ③BH 和DC是 直线 BA CD E F H G (2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?4 分别是 ：CG、HD、GF、HE 课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线? (1)说出以下各对线段的位置关系? A B G F H E D C 4.如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？ 解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角， 又  BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45oo O 连接HA、AF， 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 o (2)连接FH， 所以FO与BD所成的夹角是30o ∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角 ∵HD EA，EA FB ∴HD FB∥= ∥= ∥= 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△