高中数学必修43.1两角和与差的正弦余弦和正切公式ppt课件

3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切》 高考资源网 教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦 和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程， 理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及 运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活 运用. 在研究三角函数时，我们还常常遇到这样 的问题：已知任意角α、β的三角函数值， 如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？ 下面我们先引出平面内两点间的距离公式， 并从两角和的余弦公式谈起. 在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x y O . . P1(x1, y1) P2(x2, y2) M1(x1, 0) M2(x2, 0) N1(0, y1) N2(0, y2) Q P1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃， 由勾股定理，可得 P1P2 2=P1Q2+QP2 2 =(x1–x2)2+(y1–y2)2, =┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2 由此得到平面内 P1(x1, y1), P2(x2, y2) 两点间距离公式：P1P2= ∟ ∟ ∟ ∟ ∟ 接下来，我们继续考虑如何运用两点间 的距离公式，把两角和的余弦cos(α+β)用 α、β的三角函数来表示的问题. x y O 如图，在直角坐标 平面xOy内作单位圆O, 并作出角α、β和–β， α P1 P2P3 P4 β –β α+β P1(1, 0), 各点坐标： P2(cosα, sinα), P3(cos(α+β), sin(α+β)), P4(cos(–β), sin(–β)), x y O α P1 P2P3 P4 β –β α+β P1(1, 0),各点坐标： P2(cosα, sinα), P3(cos(α+β), sin(α+β)), P4(cos(–β), sin(–β)), 由P1P3＝P2P4及两点间距离公式，得 [cos(α+β)–1]2+sin2(α+β) =[cos(–β)–cosα]2 +[sin(–β)–sinα]2, [cos(α+β)–1]2+sin2(α+β) =[cos(–β)–cosα]2 +[sin(–β)–sinα]2, cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β) =cos2β–2cosα cosβ+ cos2α + sin2α+2sinα sinβ+ sin2β， 2–2cos(α+β) =2–2cosα cosβ +2sinα sinβ， ∴ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ， （C（α+β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ （C（α+β）） 这个公式对于任意角α、β都成立. 例如 cos(62° ＝cos62° –cos59° +59°) sin62°sin59°; cos(113° ＝cos113° –cos27° +27°) sin113° sin27°; cos[α ＝cosα –cos(–β) +(–β)] sinα sin(–β)， cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ. （C（α+β））cos[α ＝cosα –cos(–β) +(–β)] sinα sin(–β)， cosβcos(α ＝cosα +–β) sinα sinβ. （C（α–β））例如 cos(113° ＝cos113° +cos27° –27°) sin113° sin27°; cos(113° ＝cos113° +cos27° +27°) sin113° sin27°; cosβcos(α ＝cosα +–β) sinα sinβ. （C（α–β）） +cosα –α) sinα cos( π 2 ＝cos π 2 sin π 2 =sinα， 即 –α)cos( π 2 =sinα， π 2这里，等号两边的角的和为 ， αcos π 2=sin( –α)，∴ 即 –α)cos( π 2 =sinα， π 2这里，等号两边的角的和为 ， αcos π 2=sin( –α)，∴ 这就是说，诱导公式 –α)cos( π 2 =sinα， cosα,π 2sin( –α)＝ 当α为任意角时仍然成立. –α)cos( π 2 =sinα， cosα,π 2sin( –α)＝ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ. 运用上述公式，得 sin(α+β)= cos[ –(α+β)]π 2 =cos[( –α)–β]π 2 =cos( –α)cosβπ 2 +sin( –α)sinβπ 2 =sinαcosβ +cosαsinβ, 即  sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, （S（α+β））在上式中用–β代替β，得 sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ, （S（α–β）） 当 cos(α+β)≠0 时，有 tan (α+β)= sin (α+β) cos (α+β) sinαcosβ+cos αsinβ cos αcosβ–sin αsinβ , 若 cos αcosβ≠0，得 tan (α+β)= tan α+tanβ 1–tan αtanβ . （T（α+β）） tan (α+β)= tan α+tanβ 1–tan αtanβ . ∵ tan (–β)= = –tanβ， sin(–β) cos(–β) –sinβ cosβ tan (α–β)= tan α–tanβ 1+tan αtanβ .∴ （T（α–β））   公式S（α+β）、 C（α+β）、 T（α+β）给出 了任意角α、β的三角函数值(这里指正弦、 余弦或正切)与其和角α+β的三角函数值之 间的关系. 为方便起见，我们把这三个公式 都叫作和角公式. （T（α+β）） tan (α+β)= tan α+tanβ 1–tan αtanβ . ∵ tan (–β)= = –tanβ， sin(–β) cos(–β) tan (α–β)= tan α–tanβ 1+tan αtanβ .∴ （T（α–β））   类似地，公式S（α–β）、 C（α–β）、 T（α–β）都叫作差角公式. sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, （S（α+β）） sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ, （S（α–β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ， （C（α+β）） cos(α–β)= cosα cosβ +sinα sinβ， （C（α–β））等号右边“±”的记忆方式： 在锐角范围内，正弦函数是增函数，        余弦函数是减函数， ∴ sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, （S（α+β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ， （C（α+β））记忆方式： α P Q β M N E F α sin(α+β) =QM =ONsinα+QNcosα 1 x y O = sinαcosβ + cosαsinβ; cos(α+β) =OM =ONcosα– QNsinα = cosαcosβ – sinαsinβ. =NE+QF =OE–FN ∟ ∟ ∟ ∟ 例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、    余弦和正切的值. 解： sin75°=sin( 45°+30°) =sin45°cos30° +cos45°sin30° cos75°=cos( 45°+30°) =cos45°cos30° –sin45°sin30° 例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、    余弦和正切的值. tan75°= 或 tan75°=tan( 45°+30°) sin75° cos75° 例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、    余弦和正切的值. sin15°=cos75° 或 sin15°=sin( 45°–30°) =sin45°cos30° –cos45°sin30° 例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、    余弦和正切的值. cos15°=sin75° 或 cos75°=cos( 45°–30°) =cos45°cos30° +sin45°sin30° 例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、    余弦和正切的值. tan15°= 或 tan15°=tan( 45°–30°) sin15° cos15° 例2、已知 sinα= ，α∈( , π)， 3 4 π 2 cosβ= – , β∈(π， ),3π 2 求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β). 解： 2 3 ∵ sinα= ，α∈( , π)，π 2 2 3 ∴ cosα= ∵ 3 4cosβ= – , β∈(π， ),3π 2 ∴ sinβ= 例2、已知 sinα= ，α∈( , π)， 3 4 π 2 cosβ= – , β∈(π， ),3π 2 求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β). 2 3 ∴ sin(α–β) =sinαcosβ +cosαsinβ 例2、已知 sinα= ，α∈( , π)， 3 4 π 2 cosβ= – , β∈(π， ),3π 2 求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β). 2 3 cos(α+β) =cosαcosβ –sinαsinβ 例2、已知 sinα= ，α∈( , π)， 3 4 π 2 cosβ= – , β∈(π， ),3π 2 求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β). 2 3 sin(α+β) =sinαcosβ +cosαsinβ ∴ tan (α+β)= sin (α+β) cos (α+β) 例3、利用和角公式求     的值. 解： =tan(45°+15°) =tan60° 例3′、△ABC中，     求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 证明： ∴ tanA+tanB= ∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴△ABC中没有直角， ∵ tan(A+B)= =tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C) = –tanC+tanAtanBtanC， ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B) ∴tanAtanB≠1. 本课小结：   在这节课中，我们研究了两个角的 和与差的正弦、余弦和正切公式，这些 公式在今后有大量的应用，应熟练地、 灵活地掌握。 (例3就是反过来用公式的例子).