高中数学必修42.4.1平面向量数量积的物理背景及其意义ppt课件

2.4.1 平面 向量 数量 积的 物理 背景 及其 含义 NO.1课堂强化 名师课堂·一点通 考点三 课前预习·巧设计 创新演练·大冲关 第 二 章 平 面 向 量 考点一 考点二 读教材·填要点 小问题·大思维 解题高手 NO.2课下检测 2.4 平 面 向 量 的 数 量 积 [读教材·填要点] 1．平面向量数量积的定义 已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量 叫做a与b的 (或 )，记作 ，即 . 规定零向量与任一向量的数量积为 . 2．向量的数量积的几何意义 (1)投影：|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 方向上( 方向上)的投影． (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上 的投影 的乘积． |a||b|·cos θ a·b＝|a||b|cos θ 0 数量积 内积 a在b b在a |b|cos θ a·b a·b＝0 |a||b| |a||b| |a|2 ≤ 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝ (交换律)． (2)(λa)·b＝ ＝ (结合律)． (3)(a＋b)·c＝ (分配律)． b·a λ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c [小问题·大思维 ] 1．向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？ 提示：向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一个 向量． 2．投影是向量还是数量？ 提示：投影是数量而不是向量，它可正、可负、可为零． 3．对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，则它与c共线，而 a·(b·c)≠0时与a共线，而a与c不一定共线，故该等式不一定成立 ． 4．若a，b是非零向量，则|a·b|＝|a||b|一定成立吗？ 提示：不一定．因为a·b＝|a||b|cos θ，所以只有|cos θ| ＝1，即a，b共线时才成立． 5．若a，b，c是非零向量，且a·c＝b·c，则a＝b一定成 立吗？ 提示：不一定．由a·c＝b·c可得c·(a－b)＝0⇔a－b＝0或c⊥ (a－b)． [研一题] [例1] 已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下 列条件下求a·b. (1)θ＝135°； (2)a∥b； (3)a⊥b. 若本例条件变为“θ＝120°”，试求(2a－b)·(3a＋2b)． [悟一法] 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈ [0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|·cos θ ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能 用“×”连接，也不能省去． [通一类 ] [研一题 ] [例2] 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋ e2，b＝e2－2e1的夹角． [悟一法 ] [通一类 ]2．已知a、b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a－b 的夹角． [研一题] [例3] 已知|a|＝7，|b|＝4，|a＋b|＝9，求|a－b|. [悟一法] 1．处理模的计算问题时，一般是将模平方转化为向量 的运算进行处理． 2．由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2相加 可得|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．其几何意义是平行四边形 两条对角线的平方和等于其四边的平方和． [通一类 ]3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若 |a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________． 解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b. 又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2. 则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2， ∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. 答案：4