人教版高中数学必修21.3.2球的体积和表面积ppt课件

1、通过对球的体积和面积公式的推导， 了解推导过程中所用的基本数学思想方法： “分割—求和—化为准确和”； 2、能运用球的面积和体积公式灵活解决实 际问题； 3、能解决球的截面有关计算问题及球的 “ 内接”与“外切”的几何体问题。 RR 一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上 底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所 得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体 积相等。 一、球的体积: RR R 设想一个球由许多顶点 在球心,底面在球面 上的“准锥体” 组成,这些准锥体 的底面并不是真 的多边形,但只要 其底面足够小,就 可以把它们看成 真正的锥体. 二、球的表面积: R S球表=4πR2 例1:钢球直径是5cm,求它的体积. (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是 答:空心钢球的内径约为4.5cm. 由计算器算得: (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 A B CD D1 C1 B1A1 O 分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。 A B CD D1 C1 B1A1 O 例题讲解 变式训练1:已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体 积为16,则这个球的表面积为( ) A.16π B.20π C.24π D.32π (提示:底面是正方形,侧棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱) 解析:该四棱柱的底面积为4,从而底面边长为2,其外接球的直 径为该四棱柱的体对角线. ∴R ∴S=4πR2=24π 答案:C 训练:(2008·四川高考)一个六棱柱的底面是正六边形.其侧棱 垂直底面,已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱 的高为 底面周长为3,那么这个球的体积为 ________. 解析:依题意知,正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1, 又高为 所以球的直径为2,故球的体积为 如下图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激 凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗? 课堂练习二 解:由图可知,半球的半径为4 cm, 圆锥的高为12 cm. ∴V半球 V圆锥 π·42·12=64π cm3, ∴冰激凌化了,不会溢出杯子. (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 侧棱长为5cm 两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个 几何体的各面相切. 球内切于正方体 (变式3)把正方体的纸盒装入半径为4cm 的球状木盒里,能否装得下? 半径为4cm的木盒能装下的最大正方体 与球盒有什么位置关系? 球外接于正方体 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在 另一个几何体的表面上。 例4:有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方 体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个 球的表面积之比. 分析:作出截面图,分别求出三个球的半径. 解:设正方体的棱长为a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过 四个切点及球心作截面如右图,所以有2r1=a,r1 所以 (2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方 体的对角面得截面,如下图. 所以S2=4πr2 2=2πa2. (3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作 正方体的对角面得截面,如下图所示,所以有 所以S3=4πr2 3=3πa2. 综上可得S1:S2:S3=1:2:3. 思考:体积之比又是多少呢? 8 2.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个 球的体积之比_________. 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍. 练习1: 探究：若正方体的棱长为a，则： (1)正方体的内切球的直径= (2)正方体的外接球的直径= (3)与正方体所有的棱相切的球的直径= 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 ______. 练习2: 1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来 的___倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来 的___倍. 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是___. 7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球， 那么这个大铅球的表面积是______. 6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为 12π ,则两球的直径之差为______. 练习2: 5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为_____. 3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2 cm,则球的表 面积是( ) A.8π cm2B.12 πcm2 C.16 πcm2D.20 π cm2 解析:依题意知,球的直径为正方体的对角线,∴球的半径为 ∴球的表面积S=4π . 答案:B 4.三个球的半径之比为1:2:3,那么最大的球的体积是其它两 个球的体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍D.4倍 解析:记三个球的半径分别为1,2,3,则大球的体积V3= π×33=36π,两个小球的体积和V1+V2= π(13+23)=12π.∴最 大球的体积是其它两个球的体积和的3倍. 答案:C 易错探究 例4:(2010·广州模拟)已知某个几何体的三视图如图(主视图 中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几 何体的体积是________cm3. 例2:如图是一个奖杯的三视图,单位是cm， 试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积. (精确到0.01cm) 8 6 6 18 5 15 15 11 11 x/ y/ z/ 解：这个奖杯的体积为 V=V正四棱台+V长方体+ V球 V正四棱台 V长方体=6×8×18=864 V球= 所以这个奖杯的体积为 V ≈ 1828.76(cm3) O A B C 例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 体积，表面积． 解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r， 例题讲解 O A B C 例题讲解 能力提升 例.球面上有四个点P､A､B､C,如果PA､PB､PC两两互相垂直, 且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积. 解:要求球的表面积,只要求出球的半径R.分析题设条件可知 把P看作是球内接正方体的一个顶点,把三棱锥P-ABC补成一 个球内接正方体,其棱长为a. 1.球的表面积公式； 2.球的体积公式.