2.12.1向量的物理背景与向量的物理背景与
概念及几何表示概念及几何表示
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追
去，设问：猫能否追到老鼠？
A B
C
D
情境设置
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追
去，设问：猫能否追到老鼠？
A B
C
D
猫的速度再快
也没用，因为方向
错了.
结论：
情境设置
请同学指出哪些量既有大小又有方向？
哪些量只有大小没有方向？
讲授新课
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1. 向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫向量.
讲授新课
1. 向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫向量.
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(1)数量与向量有何区别？
(2)如何表示向量？
(3)有向线段和线段有何区别和联系？分别
可以表示向量的什么？
(4)长度为零的向量叫什么向量？长度为1
的向量叫什么向量？
阅读教材，回答下列问题：
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(5)满足什么条件的两个向量是相等向量？
单位向量是相等向量吗？
(6)有一组向量，它们的方向相同或相反，
这组向量有什么关系？
(7)如果把一组平行向量的起点全部移到一
点O，这是它们是不是平行向量？这时
各向量的终点之间有什么关系？
阅读教材，回答下列问题：
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A(起点)
B
(终点)
a
数量只有大小，是一个代数量，可以
进行代数运算、比较大小；向量有方向，
大小，双重性，不能比较大小.
2. 数量与向量的区别：
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3. 向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母a、b(黑体，印刷用)等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：
的大小——长度称为向量的模，向量
记作 .
；
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具有方向的线段就叫做有向线段，
三个要素：起点、方向、长度.
4. 有向线段：
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具有方向的线段就叫做有向线段，
三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
4. 有向线段：
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具有方向的线段就叫做有向线段，
三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点
无关，只要大小和方向相同，这两个向
量就是相同的向量；
(2)有向线段有起点、大小和方向三个素，
起点不同，尽管大小和方向相同，也是
不同的有向线段.
4. 有向线段：
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5. 零向量、单位向量概念：
②长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量.
①长度为0的向量叫零向量，记作0.
0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
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5. 零向量、单位向量概念：
②长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量.
①长度为0的向量叫零向量，记作0.
0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
说明：
零向量、单位向量的定义都只是限制
了大小.
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a
b
c
6.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
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6.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行. a
b
c
说明：
(1) 综合①、②才是平行向量的完整定义；
(2) 向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
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例1. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？
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不一定
例1. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？
讲授新课
不一定
零向量
例1. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？
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不一定
零向量
平行向量
例1. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？
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不一定
零向量
平行向量
例2. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？
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1. 相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：
(1) 向量a与b相等，记作a＝b；
(2) 零向量与零向量相等；
(3) 任意两个相等的非零向量，都可用同
一条有向线段表示，并且与有向线段
的起点无关. a
b
c
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2. 共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，因为任一组
平行向量都可移到同一直线上(与有向线段
的起点无关).
说明：
(1) 平行向量可以在同一直线上，要区别于
两平行线的位置关系；
(2) 共线向量可以相互平行，要区别于在
同一直线上的线段的位置关系.
例1. 如图，设O是正六边形
ABCDEF的中心，分别写出
图中与向量
相等的向量.
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B A
O
C
D E
F
例1. 如图，设O是正六边形
ABCDEF的中心，分别写出
图中与向量
相等的向量.
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变式一：与向量 长度相等的向量有多
少个？
变式二：是否存在与 向量长度相等、
方向相反的向量？
变式三：与向量 共线的向量有哪些？
B A
O
C
D E
F
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例2. 判断：
(1) 不相等的向量是否一定不平行？
(2) 与零向量相等的向量必定是什么向量？
(3) 两个非零向量相等的条件是什么？
(4) 共线向量一定在同一直线上吗？
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不一定
例2. 判断：
(1) 不相等的向量是否一定不平行？
(2) 与零向量相等的向量必定是什么向量？
(3) 两个非零向量相等的条件是什么？
(4) 共线向量一定在同一直线上吗？
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不一定
零向量
例2. 判断：
(1) 不相等的向量是否一定不平行？
(2) 与零向量相等的向量必定是什么向量？
(3) 两个非零向量相等的条件是什么？
(4) 共线向量一定在同一直线上吗？
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例2. 判断：
(1) 不相等的向量是否一定不平行？
(2) 与零向量相等的向量必定是什么向量？
(3) 两个非零向量相等的条件是什么？
(4) 共线向量一定在同一直线上吗？
不一定
零向量
长度相等且方向相同
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例2. 判断：
(1) 不相等的向量是否一定不平行？
(2) 与零向量相等的向量必定是什么向量？
(3) 两个非零向量相等的条件是什么？
(4) 共线向量一定在同一直线上吗？
不一定
不一定
零向量
长度相等且方向相同
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例3. 下列命题正确的是 ( )
A. a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点
是一平行四边形的四顶点
C. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D. 有相同起点的两个非零向量不平行
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练习.
①向量 是共线向量，则A、B、
C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
1．判断下列命题是否正确，若不正确，
请简述理由.
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练习.
①向量 是共线向量，则A、B、
C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
1．判断下列命题是否正确，若不正确，
请简述理由.
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1．判断下列命题是否正确，若不正确，
请简述理由.
练习.
①向量 是共线向量，则A、B、
C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
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练习.
①向量 是共线向量，则A、B、
C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
1．判断下列命题是否正确，若不正确，
请简述理由.
讲授新课
练习.
①向量 是共线向量，则A、B、
C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
1．判断下列命题是否正确，若不正确，
请简述理由.
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练习.
1．判断下列命题是否正确，若不正确，
请简述理由.
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一
定不同.
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练习.
1．判断下列命题是否正确，若不正确，
请简述理由.
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一
定不同.
讲授新课
练习.
1．判断下列命题是否正确，若不正确，
请简述理由.
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一
定不同.
讲授新课
练习.
1．判断下列命题是否正确，若不正确，
请简述理由.
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一
定不同.
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