5 利用三角形全等测距离
【知识再现】
一般三角形全等的判定
(1)边边边,简写为“________”.
(2)角边角,简写为“________”.
(3)角角边,简写为“________”.
(4)边角边,简写为“________”.
SSS
ASA
AAS
SAS
【新知预习】阅读教材P108-P109,解决以下问题:
你发现的规律:
利用全等测距离
应用全等测距离是利用了“全等三角形____________”. 对应边相等
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.当两点间的距离难以测量或无法直接测量时,就可以通
过构造两个全等三角形,利用全等三角形的性质把难以测
量或无法直接测量的距离转化为容易测量的距离,构造全
等三角形的依据有________,_______,_______,_______. SAS ASA AAS SSS
2.利用三角形全等测距离叙述正确的是 ( )
A.绝对准确
B.误差很大,不可信
C.可能有误差,但误差不大,结果可信
D.如果有误差的话就想办法直接测量,不能用三角形
全等的方法测距离
C
知识点 利用全等测距离(P108“想一想”拓展)
【典例】有一座锥形小山,如图,要测量锥形小山两端A,B的
距离,先在平地上取一个可以直接到达A和B两点的点C,连接
AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长
到点E,使CE=CB,连接DE,量出DE的长为
50 m,你能求出锥形小山两端A,B的距离吗?
【自主解答】在△ABC和△EDC中,
所以△ABC≌△DEC,所以AB=DE=50 m.
所以锥形小山两端A,B的距离为50 m.
【学霸提醒】
利用三角形全等测距离的四步骤
1.先定方法:即确定根据哪一判别方法构造三角形全
等.
2.画草图:根据实际问题画出草图.
3.结合图形和题意确定已知条件.
4.说明理由.
【题组训练】
1.某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳.图2是折叠凳撑
开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长
相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑
开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB的长
度也为30 cm,依据是 ( )
A.SAS B.SSS
C.AAS D.ASA
A
★2.工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如
图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移
动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过
角尺顶点C作射线OC,由此作法便可得△NOC≌△MOC,
其依据是 ( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.AAS
A
★★3.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示,已
知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24 cm,
CF=3 cm,则制成整个金属框架所需材料的长度为多少
? 世纪金榜导学号
解:因为BF=EC,所以BF+FC=CE+FC,
即BC=EF,因为在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF(SAS),
所以AC=DF,因为△ABC的周长为24 cm,
CF=3 cm,所以制成整个金属框架所需这种材料的长
度为24×2-3=45 cm.
★★4.某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老
师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样
做的:
①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A;
②沿河岸直走20 m有一树C,继续前行20 m到达D处;
③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树
遮挡住的E处停止行走;
④测得DE的长为5米.
(1)求河的宽度是多少米?
(2)请你证明他们做法的正确性.
解:(1)河的宽度是5米.
(2)由作法知,BC=DC,∠ABC=∠EDC=90°,
在△ABC和△EDC中,
所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB=ED,
即他们的做法是正确的.
【火眼金睛】
某校初二(1)班学生到野外活动,为测量一池塘两端
A,B的距离,设计出如下方案:如图,先过B点作AB的垂
线BF,再在BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的
垂线DE,交AC的延长线于点E,则测出DE的长即为A,B两
点间的距离.
阅读后回答下列问题:方案中作BF⊥AB,ED⊥BF的目的
是________________________,
若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,方案是否成立?
【正解】目的是使对应角∠ABD=∠BDE=90°,
由ASA说明△ABC≌△EDC,所以DE=AB,
若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,同样可由ASA证明△ABC
≌△EDC.方案能成立.
答案:使对应角∠ABD=∠BDE=90°
【素养培优】
杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达
B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人
行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信
息汇集如下:
如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD
相交于O,OD⊥CD.垂足为D,已知AB=20米,请根据上述
信息求标语CD的长度.
解:因为AB∥CD,所以∠ABO=∠CDO,
因为OD⊥CD,所以∠CDO=90°,
所以∠ABO=90°,即OB⊥AB,
因为相邻两平行线间的距离相等,所以OD=OB,
在△ABO与△CDO中, 所以△ABO≌
△CDO(ASA),所以CD=AB=20(米).