八年级数学下册第一章三角形的证明1-1等腰三角形（第2课时）课件（北师大版）

1 等腰三角形 第2课时 【知识再现】 1.三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边作 _________,顶点和垂足间的_________叫做三角形的 高.  2.三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边 中点的_________叫做三角形的中线.   垂线   线段   线段  3.三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个 角的对边相交,连接这个角的顶点与交点的_________ 叫做三角形的角平分线.  4.等边三角形的定义:___________都相等的三角形叫 做等边三角形.   线段   三条边  【新知预习】 阅读教材P5的内容,回答下 列问题: 探究:等腰三角形两底角的平分线有何关 系?你能画一个等腰三角形并作出它的 两底角的平分线吗? 通过观察、测量,可猜想:等腰三角形两底角的平分线 _________. 你能尝试证明你猜想的结论吗? 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD和 CE是△ABC的角平分线. 求证:BD=CE.  相等  证明:∵AB=AC,∴__________=__________.  ∵BD,CE为∠ABC,∠ACB的平分线, ∴∠3=∠1= __________,∠2=∠4= __________. ∴∠3=∠4.  ∠ABC   ∠ACB   ∠ABC   ∠ACB  在△ABD和△ACE中,∠3=∠4,AB=AC,____________.  ∴△ABD≌△ACE(________).∴BD=CE(_____________ _______________).   ∠A=∠A   ASA   全等三角形 的对应边相等  归纳: 等腰三角形重要线段的结论: 等腰三角形两个底角的平分线_________;  等腰三角形腰上的高_________;  等腰三角形腰上的中线_________.   相等   相等   相等  等边三角形的性质: 1.等边三角形三边_________.  2.等边三角形的三个内角都_________并且每个角都 等于_________.   相等   相等   60°  【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 1.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°, 则顶角的度数为 (   ) A.50°    B.80° C.100° D.130° B 2.如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4, 则AE=______.  3  3.如图,在△ABC中,AB=AC,中线BD,CE相交于点O.求证 :OB=OC. 证明:∵BD,CE是△ABC的两条中线, ∴CD= AC,BE= AB, ∵AB=AC,∴CD=BE,∠EBC=∠DCB. 在△EBC和△DCB中, BE=CD,∠EBC=∠DCB, BC=CB, ∴△EBC≌△DCB(SAS), ∴∠ECB=∠DBC, ∴OB=OC. 知识点一 等腰三角形中相关线段的性质 (教材P5例1拓展) 【典例1】如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D, BE⊥AC于点E, 求证:DE∥BC. 【规范解答】 ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. …………等腰三角形两底角相等 又∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E, ∴∠AEB=∠ADC=90°, …………垂直的定义 ∴∠ABE=∠ACD, …………同角的余角相等 ∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD, …………等式性质 ∴∠EBC=∠DCB. 在△BEC与△CDB中, ∴△BEC≌△CDB, …………………………………… 有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 ∴BD=CE, ……………………全等三角形的对应边相等 ∴AB-BD=AC-CE,即AD=AE, …………等式性质 ∴∠ADE=∠AED. …………等腰三角形两底角相等 又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角, ∴∠ADE=∠ABC, ……………………………………… 顶角相等的两个等腰三角形底角也相等 ∴DE∥BC. ………同位角相等,两直线平行 【题组训练】 1.(2019·丹江口模拟)如图,已知AD,BE 分别是△ABC的中线和高,且AB=AC, ∠EBC=20°,则∠BAD的度数为 (   ) A.18° B.20°  C.22.5° D.25° B ★2.下列说法: 世纪金榜导学号 (1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合; (2)等腰三角形的两腰上的中线长相等; (3)等腰三角形的腰一定大于其腰上的高; (4)等腰三角形的一边长为8,一边长为16,那么它的周 长是32或40. 其中不正确的个数是 (   ) A.1 B.2 C.3 D.4 C ★★3.如图,AB=AC,BD=DC,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别是 F,E. 求证:DE=DF. 证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∵DF⊥AB,DE⊥AC, ∴∠BFD=∠CED=90°, ∵BD=DC, ∴△BDF≌△CDE, ∴DE=DF. 【我要做学霸】 等腰三角形重要线段的结论 等腰三角形两底角的平分线_________,两腰上的中线 _________,两腰上的高_________.   相等   相等   相等  知识点二 等边三角形的性质 (P7随堂练习T2拓展) 【典例2】如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC 上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q. (1)求证:△ABE≌△CAD. (2)求∠PBQ的度数. 【尝试解答】(1)∵△ABC为等边三角形. ∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=_________,…等边三角形的性质 在△BAE和△ACD中, ∴△BAE≌△ACD. …………全等三角形的判定方法  60°  (2)∵△BAE≌△ACD, ∴∠ABE=∠CAD, 全等三角形的性质 ∵∠BPQ为__________的外角,  ∴∠BPQ=__________+__________,………外角的性质 ∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.…………等量代换  △ABP   ∠ABE   ∠BAD  ∵BQ⊥AD, ∴∠PBQ=_________. ………直角三角形两锐角互余 30°  【学霸提醒】 等边三角形的每一个内角都等于60°;等腰三角形的两 个底角相等;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和.在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数, 与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的. 【题组训练】 1.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等 边三角形,AB,ED相交于点F,下列结论:①AD⊥BC;② EF=FD;③BE=BD.其中正确的有___________.(填序号)  ①②③  ★2.如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延 长线上一点,连接BE,DE.若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED 的度数. 解:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°,∵∠ABE=40°, ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°. ∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°, ∴∠CED=∠ACB-∠D=40°. ★3.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为 边作等边△CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE,判断 AE与BC的位置关系,并说明理由. 世纪金榜导学号 解:AE∥BC,理由如下: ∵△ABC和△DEC是等边三角形, ∴BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°, ∠B=60°, ∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA, 即∠BCD=∠ACE, 在△ACE和△BCD中, ∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴∠EAC=∠B=60°, ∵∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB, ∴AE∥BC. 【火眼金睛】 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,试求顶 角的度数. 正解:当高在内部时,顶角为90° -30°=60°; 当高在外部时,得到顶角的外角 为90°-30°=60°,则顶角为120°. 则该等腰三角形顶角的度数是60°或120°. 【一题多变】 如图1,在等腰△ABC中.AB=AC=a,面积是S, 点P在BC上移动,过点P作PD⊥AB于点D,PE ⊥AC于点E,那么点P到两腰的距离和PD+PE等于什么?证 明你的结论. 解:PD+PE= ,证明如下:连接AP, ∵S△ABC=S△ABP+S△CAP, ∴S△ABC= , ∵AB=AC=a,S△ABC=S, ∴S= ,∴PD+PE= . 【母题变式】 【变式一】(变换条件)如图2,在等边 △ABC中,边长是a,面积是S,点P是△ABC 内部一点,P到三边的距离之和PD+PE+PF 又等于什么?证明你的结论. 解:PD+PE+PF= . 证明如下:连接AP,BP,CP, ∵S△ABC=S△ABP+S△CAP+S△CBP, ∴S△ABC= ∵AB=AC=BC=a,S△ABC=S, ∴S= ,∴PD+PE+PF= . 【变式二】(变换条件和问法)如图3,点 P是等边△ABC内部一点,作PD⊥AB,PE⊥ BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F,若PD=1, PE=2,PF=4.求△ABC的边长. 略