八年级数学下册第一章三角形的证明1-2直角三角形（第1课时）课件（北师大版）

2 直角三角形 第1课时 【知识再现】 1.三角形的分类:锐角三角形,_________三角形, _________三角形.  2.直角三角形定义:有一个内角是_________的三角形 叫直角三角形.   直角   钝角   直角  3.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所 对的直角边等于斜边的_________.  一半  【新知预习】 阅读教材P14-16,回答下列问题 1.直角三角形的性质 (1)角:直角三角形的两个锐角_________.  (2)边:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 _________.   互余   平方  2.直角三角形的判定 问题1:勾股定理:直角三角形_____________________  等于_______________;  它的条件:如果一个三角形是直角三角形; 结论:那么它两条直角边的平方和等于斜边的平方.  两条直角边的平方和  斜边的平方  将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件,其内容 是: 如果___________________________________,那么___ _____________________. 三角形两边的平方和等于第三边的平方 这 个三角形是直角三角形 问题2:证明上述命题: 已知:在△ABC中,AB2+AC2=BC2. 求证:△ABC是直角三角形. 得出定理:如果三角形两边的___________等于第三边 的_________,那么这个三角形是直角三角形.   平方和   平方  3.互逆命题、逆定理 互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的_______________,那么这两个命 题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命 题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题.   结论和条件  互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是_______ _____,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理. 其中一个定理称为另一个定理的逆定理.    真命 题  【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 1.(2019·重庆九龙坡区期中)如图,AC⊥BD,∠1=∠2, ∠D=40°,则∠BAD的度数是 (   )C A.85°     B.90° C.95° D.100° 2.下列命题: ①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; ②若a>b,则ac2>bc2; ③全等三角形对应角相等; ④直角三角形两锐角互余. 其中原命题与逆命题均为真命题的是 (   )B A.①②④ B.①④ C.③④ D.④ 3.(2019·北京延庆区期末)直角三角形中,一个锐角等 于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_________.  30°  知识点一 直角三角形的性质 【典例1】已知等腰三角形ABC的底边BC=20 cm,D是腰 AB上一点,且CD=16 cm,BD=12 cm. 世纪金榜导学号 (1)求证:CD⊥AB. (2)求该三角形的腰的长度. 【规范解答】(1)∵BC=20 cm,CD=16 cm,BD=12 cm, ∴BD2+CD2=122+162=400,BC2= 400, ……数的运算 ∴BD2+CD2=BC2, …………等量代换 ∴∠BDC=90°, …………勾股定理逆定理 即CD⊥AB. …………垂直定义 (2)设腰长为x cm,则AD=x-12, 由勾股定理得AD2+CD2=AC2, 即:(x-12)2+162=x2, …………列方程 解得x= , …………方程的解法 ∴腰长为 cm. 【学霸提醒】 直角三角形的性质 (1)在求角度时,用到直角三角形两锐角互余,有时利用 角平分线或者折叠转化角度. (2)利用勾股定理,可以已知任意两边求第三边,利用面 积相等可以求出斜边上的高;有时结合方程思想解决问 题. 【题组训练】 1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一 个锐角的度数是 (   ) A.75° B.65° C.55° D.45° C ★2.(2019·惠州惠城区期末)如图,正方形面积是 (   ) A.16 B.8 C.4 D.2 B ★3.(2019·武汉东西湖区期末)在正方形ABCD中,E是 CD上的点.若BE=30,CE=10,求正方形ABCD的面积和对角 线长. 解:连接BD. ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠A=∠C=90°. 在Rt△BCE中,由勾股定理得: BC2=BE2-CE2=302-102=800. 在Rt△BCD中,由勾股定理得:BD2=BC2+CD2=800+800= 1 600, ∴BD=40, ∴S正方形ABCD=BC2=800. ★★4.如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=12 cm, BC=5 cm,AB=13 cm,过点C作CD⊥AB于点D. 世纪金 榜导学号 (1)找出图中相等的锐角,并说明理由. (2)求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离. 解:(1)∵CD⊥AB(已知), ∴∠CDA=90°, ∴∠A+∠1=90°, ∵∠1+∠2=90°, ∴∠A=∠2(同角的余角相等). 同理可得,∠1=∠B. (2)点A到直线BC的距离为12 cm. 点C到直线AB的距离为线段CD的长度. S△ABC= AC×BC= AB×CD. ∵AC=12 cm,BC=5 cm,AB=13 cm,代入上式,解得CD= cm. 知识点二 勾股定理逆定理的应用 【典例2】若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足等式 (a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,求△ABC的面积. 【规范解答】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0, ∴a-5=0,b-12=0,c-13=0, …………非负数的性质 ∴a=5,b=12,c=13, …………解一元一次方程 ∵52=25,122=144,132=169. …………平方数 ∴52+122=132,即a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形,a,b为直角边,c为斜边. 勾股定 理逆定理 ∴S△ABC= ab= ×5×12=30. …………直角三角形的面积公式 【学霸提醒】 由三边判定直角三角形的“三步法” 1.确定:确定三角形的最大边. 2.计算:算出最大边的平方及其他两边的平方和. 3.判断:根据计算后的数量关系判断三角形的形状. 【题组训练】 1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 (   ) A.3,4,5 B.2,3,4 C.4,6,7 D.5,11,12 A ★2.若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角 形最长边上的中线长为 (   ) A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 D ★3.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三 角形的形状是_________三角形. 世纪金榜导学号  直角  ★★4.如图,正方形网格中有△ABC,若小方格边长为1, 请你根据所学的知识,判断△ABC是什么形状?并说明理 由. 解:△ABC是直角三角形.理由如下: AB2=32+22=13;AC2=82+12=65; BC2=62+42=52;∴AB2+BC2=AC2, ∴△ABC是直角三角形. 知识点三 互逆命题以及互逆定理 【典例3】下列命题中,与“同旁内角互补,两直线平行” 成为互逆定理的是 (   ) A.同旁内角不互补,两直线平行  B.同旁内角不互补,两直线不平行  C C.两直线平行,同旁内角互补  D.两直线不平行,同旁内角不互补 【题组训练】 1.“直角都相等”与“相等的角是直角”是 (   ) A.互为逆命题 B.互逆定理  C.公理 D.假命题 A ★2.指出下列命题的逆命题能否成为逆定理: (1)如果a=b,那么a2=b2. (2)如果三角形有一个内角是钝角,那么它的另外两个 内角一定是锐角. (3)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边 也相等. 解:(1)逆命题是:如果a2=b2,那么a=b是假命题,故不能 成为逆定理. (2)逆命题是:如果一个三角形的两个内角是锐角,那么 三角形另一个角是钝角,是假命题,故不能成为逆定理. (3)逆命题是:如果一个三角形有两条边相等,那么这两 条边所对的两个角相等,是真命题,能成为逆定理. 【火眼金睛】 在Rt△ABC中,BC=3,AB=4,求AC的长. 正解:∵Rt△ABC中,BC=3,AB=4, ∴当AC为斜边时:AC= =5, 当AB为斜边时:AC= , 故AC的长为5或 . 【一题多变】 如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3. 求四边形ABCD的面积. 解:连接AC, ∵∠B=90°,AB=BC=2,∴AC=2 , ∵AD=1,CD=3, ∴AD2+AC2=12+(2 )2=9,CD2=9, ∴AD2+AC2=CD2, ∴△ADC是直角三角形,∴∠DAC=90°, 在Rt△ABC中,S△ABC= BC·AB= ×2×2=2, 在Rt△ADC中,S△ADC= AD·AC= ×1×2 = , ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+ . 【母题变式】 如图,网格中每个小正方形的边长都是1,且A,B,C,D都 在格点上. (1)求四边形ABCD的面积. (2)求∠ABC的度数. 略