八年级数学下册第一章三角形的证明1-2直角三角形（第2课时）课件（北师大版）

2 直角三角形 第2课时 【知识再现】 三角形全等的判定方法:SSS,__________,ASA, ________.   SAS    AAS  【新知预习】 阅读教材P18-19,回答下列问题 探究:“HL”定理. 已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′ =90°,AB=A′B′,BC=B′C′. 求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. 证明:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴AC2=AB2-BC2(_____ _________).  同理,A′C′2=A′B′2-B′C′2(_____________).  ∵AB=A′B′,BC=B′C′,∴AC=A′C′.∴Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(________).   勾 股定理   勾股定理   SSS  归纳:(1)斜边、直角边定理(HL):_________________ _____分别相等的两个直角三角形全等.  (2)符号语言:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°,  斜边和一条直角 边  ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL) (3)判断两个三角形全等的方法:①________________、 ②边角边(SAS)、③______________、④角边角(ASA)、 ⑤_____________________.   边边边(SSS)   角角边(AAS)   斜边、直角边(HL)  【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 1.下列可使两个直角三角形全等的条件是 (   ) A.一条边对应相等   B.两条直角边对应相等 C.一个锐角对应相等  D.两个锐角对应相等 B 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下 列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是 (   )A 3.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN和PQ 上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=______.  7  知识点一 斜边、直角边定理(HL) 【典例1】如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°, AC=BD,AC与BD相交于点O. (1)求证:△ABC≌△DCB. (2)△OBC是何种三角形?证明你的结论. 【规范解答】(1)在Rt△ABC和 Rt△DCB中, ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). ……………………直角三角形全等的判定 (2)△OBC是等腰三角形. 理由是: ∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC, ………………………………全等三角形对应角相等 ∴OB=OC, …………等角对等边 ∴△OBC是等腰三角形. 【学霸提醒】 直角三角形全等应用的思路 1.由题目已知中的垂直或直角找出两个直角三角形. 2.分析条件,证明两个直角三角形全等. 3.由全等三角形的性质得角或线段的相等关系. 【题组训练】 1.如图,AB⊥BC于点B,AD⊥DC于点D,若CB=CD,且∠1= 30°,则∠BAD的度数是 (   )                    A.90° B.60° C.30° D.15° B ★2.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明 Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是(   ) A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC D ★★3.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°, 且EC⊥AC于点C,AE=BF.试判断AE和BF的位置关系,并说 明理由. 世纪金榜导学号 解:AE⊥BF,理由如下: ∵AE=BF,AB=AC, ∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL),∴∠CAE=∠ABF, ∵∠ABF+∠AFB=90°, ∴∠CAE+∠AFB=90°, ∴∠ADF=90°,即AE⊥BF. 知识点二 直角三角形全等的判定方法 【典例2】如图,AB=12,CA⊥AB于点A, DB⊥AB于点B,且AC=4 m,P点从B向A运 动,每分钟走1 m,Q点从B向D运动,每分钟走2 m,P,Q两 点同时出发,运动    分钟后△CAP与△PQB全等. 【规范解答】∵CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B, ∴∠A=∠B=90°, ………… 垂直定义 设运动x分钟后△CAP与△PQB全等; 则BP=x m,BQ=2x m,则AP=(12-x) m, ………………………………未知量设法 分两种情况: ………………………………分类思想 ①若BP=AC,则x=4, AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ, …………线段和差运算 ∴△CAP≌△PBQ; …………全等三角形判定 ②若BP=AP,则12-x=x,解得:x=6,BQ=12≠AC,此时 △CAP与△PQB不全等; 综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等. 答案:4 【题组训练】 1.(2019·广州海珠区模拟)下列判断一定正确的是 (   ) A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等  B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等 A C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全 等  D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角 形全等 ★2.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点 E,BD和CE交于点O,AO的延长线交BC于点F,则图中全等 的直角三角形有世纪金榜导学号(   ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 C ★3.如图,已知AB⊥CD,垂足为B,DE⊥AC,若想判定 △ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是___________ ________________. 世纪金榜导学号   DB=AB(或 DE=AC或BE=BC)  ★★4.如图:AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,EF过点C, BE⊥EF于E,DF⊥EF于F,BE=DF.求证:Rt△BCE≌Rt△DCF. 世纪金榜导学号 证明:连接BD, ∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB, ∵∠ABC=∠ADC=90°, ∴∠CBD=∠CDB,∴BC=DC, ∵BE⊥EF,DF⊥EF,∴∠E=∠F=90°, 在Rt△BCE和Rt△DCF中, ∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL). 【火眼金睛】 已知,如图,在△ABC中,DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,求 证:AD平分∠BAC. 正解:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠AED=∠AFD=90°, 在Rt△AED与Rt△AFD中, AD=AD,DE=DF, ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL), ∴∠DAE=∠DAF, ∴AD平分∠BAC. 【一题多变】 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN经过点A, 过点B作BD⊥MN于点D,过点C作CE⊥MN于点E. (1)求证:△ABD≌△CAE. (2)若BD=12 cm,DE=20 cm, 求CE的长度. 解:(1)∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAD=90°, 又∵BD⊥MN,CE⊥MN, ∴∠BDA=∠AEC=90°,∠CAD+∠ACE=90°, ∴∠BAD=∠ACE,又AB=AC, 在△ABD和△CAE中, ∴△ABD≌△CAE(AAS). (2)∵△ABD≌△CAE, ∴BD=AE,AD=CE, ∵BD=12 cm,DE=20 cm, ∴AE=12 cm,AD=AE+DE=12 cm+20 cm =32 cm,∴CE=32 cm. 【母题变式】 【变式一】如图(1),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC, DE是过A的一条直线,且点B,C在DE的同侧,BD⊥DE于D 点,CE⊥DE于E点, (1)求证:AD=CE. 世纪金榜导学号 (2)求证:DE=CE+BD. (3)若直线DE绕A点旋转到图(2)位置时,其余条件不变, 问BD,DE,CE之间的数量关系如何?请说明理由. 略 【变式二】在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥ DE于点D,CE⊥DE于点E. (1)若B,C在DE的同侧(如图1所示)且AD=CE. 求证:AB⊥AC. (2)若B,C在DE的两侧(如图2所示),其他条件不变,AB与 AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由. 解:(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°, 在Rt△ABD和Rt△ACE中, ∵AB=AC,AD=CE, ∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA, ∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°. ∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°. ∴AB⊥AC. (2)AB⊥AC.证明如下: 同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE. ∴∠DAB=∠ECA, ∵∠CAE+∠ECA=90°, ∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°, ∴AB⊥AC.