八年级数学下册第一章三角形的证明1-3线段的垂直平分线（第1课时）课件（北师大版）

3 线段的垂直平分线 第1课时 【知识再现】 1.垂直于一条线段,并且_________这条线段的直线,叫 做这条线段的垂直平分线.  2.线段是_______对称图形,对称轴是线段的_________ _______.   平分   轴   垂直平 分线  【新知预习】 阅读教材P22页,回答下列问题 探究:如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是直线l 上的点. ①分别测量P1,P2,P3,…到点A和点B的距离,发现:P1A= P1B,P2A=P2B,P3A=P3B… ②若不用测量的方法,把线段AB沿着直线l对折,发现: P1A与P1B,P2A与P2B,P3A与P3B…都将重合. 结论:P1,P2,P3,…到点A和点B的距离都_________.  相等  归纳: 1.线段垂直平分线的性质定理 定理:线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点的距离_________.  几何语言:∵直线MN⊥AB,且AC=BC, ∴PA=_______.   相等   PB  2.线段垂直平分线的判定定理 定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段 的_______________上.  垂直平分线  几何语言:∵PA=PB, ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 1.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下 列结论不一定成立的是 (   )C A.AB=AD    B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC 2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分 线交AC于点D,则△BDC的周长是 (   ) A.8       B.9 C.10 D.11 C 3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB 边沿AD折叠,发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线 上,则∠C=_________.  30°  知识点一 线段垂直平分线的性质定理 【典例1】如图,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分线, 垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长 是  . 【规范解答】∵DE是BC的垂直平分线, ∴DB=DC, …………线段垂直平分线的性质 ∴△ABD的周长=AB+AD+BD =AB+AD+DC …………等量代换 =AB+AC=15. …………代入求值 答案:15 【学霸提醒】 根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC,根据三角形 的周长公式计算即可.掌握线段的垂直平分线上的点到 线段的两个端点的距离相等是解题的关键. 【题组训练】 1.(2019·昆山一模)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平 分线,分别交BC,AC于点D,E,连接AD,若△ABD的周长为 16 cm,AB=5 cm,则线段BC的长度等于 (   )D A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm ★2.(2019·黄石模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则 DE的长为 (   ) B ★3.(2019·滨州无棣一模)如图,在四边形ABCD中,E为 AB的中点,DE⊥AB于点E,∠A=66°,∠ABC=90°,BC=AD, 则∠C的大小为_________.  世纪金榜导学号  78°  ★★4.如图,C,D是AB的垂直平分线上两点,延长AC,DB 交于点E,AF∥BC交DE于点F.求证: (1)AB是∠CAF的平分线. (2)∠FAD=∠E. 证明:(1)∵点C是AB的垂直平分线上的点, ∴CB=CA, ∴∠CBA=∠CAB, ∵AF∥BC交DE于点F, ∴∠BAF=∠CBA, ∴∠BAF=∠CAB. 即AB是∠CAF的平分线. (2)∵点D是AB的垂直平分线上的点, ∴DB=DA, ∴∠DBA=∠DAB, ∵∠DBA=∠E+∠CAB, ∠DAB=∠FAD+∠BAF,∠CAB=∠BAF, ∴∠E=∠FAD. 知识点二 线段垂直平分线的判定定理 【典例2】两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC与BD相交于点O, 下列判断正确的有   (填序号). ①AC⊥BD;②AC,BD互相平分;③CA平分∠BCD. 【规范解答】∵AB=AD,BC=DC, ∴点A,C都在线段BD的垂直平分线上, ……………………线段垂直平分线判定 ∴AC⊥BD, …………线段垂直平分线性质 故①正确;②错误. ∵BC=DC,∴△BCD为等腰三角形, …等腰三角形定义 又∵AC垂直平分BD, ∴CA平分∠BCD, …………等腰三角形性质三线合一 故③正确. 答案:①③ 【题组训练】 1.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和 点C为圆心,大于 AC的长为半径画弧,两弧相交于点 M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为 (   )A A.65° B.60° C.55° D.45° ★2.如图所示,CD是线段AB的对称轴,与线段AB交于D, 则下列结论中正确的有 (   ) ①AD=BD;②AC=BC; ③∠A=∠B;④∠ACD=∠BCD; ⑤∠ADC=∠BDC=90°. A.2个  B.3个 C.4个  D.5个 D ★3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,世纪金榜导学 号 (1)作边AB的垂直平分线MN.(保留作图 痕迹,不写作法) (2)在已知的图中,若MN交AC于点D,连接BD,求∠DBC的 度数. 解:(1)如图: (2)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D, ∴AD=BD, ∵∠A=40°, ∴∠ABD=∠A=40°, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)=70°, ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°. ★★4.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,EF垂直平 分BD. 求证:AB∥DF. 证明:∵EF垂直平分BD, ∴FB=FD,∴∠FBD=∠BDF, ∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠FBD, ∴∠ABD=∠BDF,∴AB∥DF. 【火眼金睛】 在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相 交所得到锐角为50°,则∠B等于    . 正解:根据△ABC中∠A为锐角与钝角,分为两种情况: ①当∠A为锐角时, ∵AB的垂直平分线与AC所在的直线 相交所得到锐角为50°,∴∠A=40°, ∴∠B= =70°; ②当∠A为钝角时, ∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为 50°,∴∠1=40°,∴∠BAC=140°, ∴∠B=∠C= =20°. 答案:70°或20° 【一题多变】 如图,△ABC中,∠BAC=100°,DF,EG分别是AB,AC的垂直 平分线,则∠DAE等于 (   ) A.50° B.45° C.30° D.20° D 【母题变式】 【变式一】(变换条件)如图,△ABC中, ∠BAC =70°, BC=12,NE=3,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直 平分线交BC边于点N.求:∠EAN的度数和△EAN的周长. 世纪金榜导学号 解:∵∠BAC=70°, ∴∠B+∠C=180°-70°=110°, ∵AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC 边于点N, ∴EA=EB,NA=NC, ∴∠EAB=∠B,∠NAC=∠C, ∴∠BAC=∠BAE+∠NAC-∠EAN=∠B+∠C-∠EAN, ∴∠EAN=∠B+∠C-∠BAC=110°-70°=40°. ∴△EAN的周长=NA+EA+NE=NC+EB+NE=BC+NE+NE= 12+3+3=18. 【变式二】(变换条件和问法)如图,△ABC中,AB的垂直 平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,若∠DAE =28°,则∠BAC=________°.  104